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Trazado el gráfico de la función/ -cos(x)/2+exp(x)/4+x^4*exp(-x)/12

Gráfico de la función y = -cos(x)/2+exp(x)/4+x^4*exp(-x)/12

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   x    4  -x
       -cos(x)    e    x *e  
f(x) = -------- + -- + ------
          2       4      12
f(x)=x4e−x12+(ex4+(−1)cos⁡(x)2)f{\left(x \right)} = \frac{x^{4} e^{- x}}{12} + \left(\frac{e^{x}}{4} + \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\right) 
f = (x^4*exp(-x))/12 + exp(x)/4 + (-cos(x))/2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000000020000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x4e−x12+(ex4+(−1)cos⁡(x)2)=0\frac{x^{4} e^{- x}}{12} + \left(\frac{e^{x}}{4} + \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.533973181728925x_{1} = 0.533973181728925
x2=−0.964831456759447x_{2} = -0.964831456759447
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-cos(x))/2 + exp(x)/4 + (x^4*exp(-x))/12.
((−1)cos⁡(0)2+e04)+04e−012\left(\frac{\left(-1\right) \cos{\left(0 \right)}}{2} + \frac{e^{0}}{4}\right) + \frac{0^{4} e^{- 0}}{12}
Resultado:
f(0)=−14f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{4}
Punto:
(0, -1/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x4e−x12+x3e−x3+ex4+sin⁡(x)2=0- \frac{x^{4} e^{- x}}{12} + \frac{x^{3} e^{- x}}{3} + \frac{e^{x}}{4} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−0.329609359637731x_{1} = -0.329609359637731
Signos de extremos en los puntos:
(-0.3296093596377306, -0.291915653799996)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−0.329609359637731x_{1} = -0.329609359637731
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−0.329609359637731,∞)\left[-0.329609359637731, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−0.329609359637731]\left(-\infty, -0.329609359637731\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x4e−x12−2x3e−x3+x2e−x+ex4+cos⁡(x)2=0\frac{x^{4} e^{- x}}{12} - \frac{2 x^{3} e^{- x}}{3} + x^{2} e^{- x} + \frac{e^{x}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x4e−x12+(ex4+(−1)cos⁡(x)2))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} e^{- x}}{12} + \left(\frac{e^{x}}{4} + \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x4e−x12+(ex4+(−1)cos⁡(x)2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} e^{- x}}{12} + \left(\frac{e^{x}}{4} + \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-cos(x))/2 + exp(x)/4 + (x^4*exp(-x))/12, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x4e−x12+(ex4+(−1)cos⁡(x)2)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4} e^{- x}}{12} + \left(\frac{e^{x}}{4} + \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x4e−x12+(ex4+(−1)cos⁡(x)2)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4} e^{- x}}{12} + \left(\frac{e^{x}}{4} + \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x4e−x12+(ex4+(−1)cos⁡(x)2)=x4ex12+(−1)cos⁡(x)2+e−x4\frac{x^{4} e^{- x}}{12} + \left(\frac{e^{x}}{4} + \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\right) = \frac{x^{4} e^{x}}{12} + \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{e^{- x}}{4}
- No
x4e−x12+(ex4+(−1)cos⁡(x)2)=−x4ex12−(−1)cos⁡(x)2−e−x4\frac{x^{4} e^{- x}}{12} + \left(\frac{e^{x}}{4} + \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2}\right) = - \frac{x^{4} e^{x}}{12} - \frac{\left(-1\right) \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{e^{- x}}{4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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