Sr Examen

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sqrt(1-x^(2/9))
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(1-x^(2/9))

Gráfico de la función y = sqrt(1-x^(2/9))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________
         /      2/9 
f(x) = \/  1 - x
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{1 - x^{\frac{2}{9}}}$$ 
f = sqrt(1 - x^(2/9))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{1 - x^{\frac{2}{9}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(1 - x^(2/9)).
$$\sqrt{1 - 0^{\frac{2}{9}}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{1}{9 x^{\frac{7}{9}} \sqrt{1 - x^{\frac{2}{9}}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{1}{1 - x^{\frac{2}{9}}} + \frac{7}{x^{\frac{2}{9}}}}{81 x^{\frac{14}{9}} \sqrt{1 - x^{\frac{2}{9}}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{2401 \sqrt{14}}{16384}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{2401 \sqrt{14}}{16384}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{2401 \sqrt{14}}{16384}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{1 - x^{\frac{2}{9}}} = \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt{- \left(-1\right)^{\frac{2}{9}}} \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt{- \left(-1\right)^{\frac{2}{9}}} \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{1 - x^{\frac{2}{9}}} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(1 - x^(2/9)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{1 - x^{\frac{2}{9}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{1 - x^{\frac{2}{9}}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{1 - x^{\frac{2}{9}}} = \sqrt{1 - \left(- x\right)^{\frac{2}{9}}}$$
- No
$$\sqrt{1 - x^{\frac{2}{9}}} = - \sqrt{1 - \left(- x\right)^{\frac{2}{9}}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(1-x^(2/9))
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