Sr Examen

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sqrt(1+2*tan(x))
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(1+2*tan(x))

Gráfico de la función y = sqrt(1+2*tan(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ______________
f(x) = \/ 1 + 2*tan(x)
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{2 \tan{\left(x \right)} + 1}$$ 
f = sqrt(2*tan(x) + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{2 \tan{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.463647609000806$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(1 + 2*tan(x)).
$$\sqrt{2 \tan{\left(0 \right)} + 1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\sqrt{2 \tan{\left(x \right)} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(2 \tan{\left(x \right)} - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{2 \tan{\left(x \right)} + 1}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\sqrt{2 \tan{\left(x \right)} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{2 \tan{\left(x \right)} + 1}$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty} \sqrt{2 \tan{\left(x \right)} + 1}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(1 + 2*tan(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2 \tan{\left(x \right)} + 1}}{x}\right)$$
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 \tan{\left(x \right)} + 1}}{x}\right)$$
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(1+2*tan(x))
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