Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (8*x-atan(2*x))/(1+4*x^2)

Gráfico de la función y = (8*x-atan(2*x))/(1+4*x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       8*x - atan(2*x)
f(x) = ---------------
                  2   
           1 + 4*x
f(x)=8x−atan⁡(2x)4x2+1f{\left(x \right)} = \frac{8 x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2} + 1} 
f = (8*x - atan(2*x))/(4*x^2 + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
8x−atan⁡(2x)4x2+1=0\frac{8 x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (8*x - atan(2*x))/(1 + 4*x^2).
0⋅8−atan⁡(0⋅2)4⋅02+1\frac{0 \cdot 8 - \operatorname{atan}{\left(0 \cdot 2 \right)}}{4 \cdot 0^{2} + 1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−8x(8x−atan⁡(2x))(4x2+1)2+8−24x2+14x2+1=0- \frac{8 x \left(8 x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\right)}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{8 - \frac{2}{4 x^{2} + 1}}{4 x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.549393465769307x_{1} = 0.549393465769307
Signos de extremos en los puntos:
(0.549393465769307, 1.61403655055517)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0.549393465769307x_{1} = 0.549393465769307
Decrece en los intervalos
(−∞,0.549393465769307]\left(-\infty, 0.549393465769307\right]
Crece en los intervalos
[0.549393465769307,∞)\left[0.549393465769307, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
8(−4x(4−14x2+1)+2x4x2+1+(8x−atan⁡(2x))(16x24x2+1−1))(4x2+1)2=0\frac{8 \left(- 4 x \left(4 - \frac{1}{4 x^{2} + 1}\right) + \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} + \left(8 x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\right) \left(\frac{16 x^{2}}{4 x^{2} + 1} - 1\right)\right)}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−33924.3744213405x_{1} = -33924.3744213405
x2=20495.802520213x_{2} = 20495.802520213
x3=−42399.8525385596x_{3} = -42399.8525385596
x4=36598.2137797895x_{4} = 36598.2137797895
x5=−25449.276255076x_{5} = -25449.276255076
x6=−27991.7450684068x_{6} = -27991.7450684068
x7=−17822.4679578462x_{7} = -17822.4679578462
x8=42531.0786634067x_{8} = 42531.0786634067
x9=−16127.8347683261x_{9} = -16127.8347683261
x10=35750.6716133578x_{10} = 35750.6716133578
x11=−23754.3384311191x_{11} = -23754.3384311191
x12=40835.9635221573x_{12} = 40835.9635221573
x13=19648.402504473x_{13} = 19648.402504473
x14=−28839.2482791909x_{14} = -28839.2482791909
x15=28970.4662855073x_{15} = 28970.4662855073
x16=18801.0211815204x_{16} = 18801.0211815204
x17=−40704.7379895217x_{17} = -40704.7379895217
x18=34055.5966246586x_{18} = 34055.5966246586
x19=−29686.7573127713x_{19} = -29686.7573127713
x20=−22906.8847250918x_{20} = -22906.8847250918
x21=−39857.1837316494x_{21} = -39857.1837316494
x22=−16975.1367576308x_{22} = -16975.1367576308
x23=−26296.758391468x_{23} = -26296.758391468
x24=27275.4642841675x_{24} = 27275.4642841675
x25=−33076.8426468891x_{25} = -33076.8426468891
x26=30665.4913213908x_{26} = 30665.4913213908
x27=33208.0642833892x_{27} = 33208.0642833892
x28=−18669.8243287159x_{28} = -18669.8243287159
x29=41683.5201376326x_{29} = 41683.5201376326
x30=34903.132485406x_{30} = 34903.132485406
x31=−41552.294299787x_{31} = -41552.294299787
x32=38293.306415187x_{32} = 38293.306415187
x33=−37314.5346813505x_{33} = -37314.5346813505
x34=0x_{34} = 0
x35=−20364.5998328992x_{35} = -20364.5998328992
x36=−35619.4483960692x_{36} = -35619.4483960692
x37=−39009.6316608999x_{37} = -39009.6316608999
x38=−34771.9097564571x_{38} = -34771.9097564571
x39=−19517.202542366x_{39} = -19517.202542366
x40=22190.6499514138x_{40} = 22190.6499514138
x41=31513.0113052944x_{41} = 31513.0113052944
x42=−31381.7909442748x_{42} = -31381.7909442748
x43=28122.9621425783x_{43} = 28122.9621425783
x44=15411.7456680296x_{44} = 15411.7456680296
x45=29817.9761719817x_{45} = 29817.9761719817
x46=24733.014950922x_{46} = 24733.014950922
x47=−27144.2482315243x_{47} = -27144.2482315243
x48=−15280.5669440279x_{48} = -15280.5669440279
x49=32360.5357405308x_{49} = 32360.5357405308
x50=−36466.9901080063x_{50} = -36466.9901080063
x51=21343.2189717449x_{51} = 21343.2189717449
x52=−38162.0819240593x_{52} = -38162.0819240593
x53=26427.973321394x_{53} = 26427.973321394
x54=17106.3259169458x_{54} = 17106.3259169458
x55=25580.4899472749x_{55} = 25580.4899472749
x56=39140.8565220225x_{56} = 39140.8565220225
x57=39988.4089392932x_{57} = 39988.4089392932
x58=17953.6612415125x_{58} = 17953.6612415125
x59=−32229.3147164545x_{59} = -32229.3147164545
x60=−30534.2716798009x_{60} = -30534.2716798009
x61=23038.093835826x_{61} = 23038.093835826
x62=37445.7587768403x_{62} = 37445.7587768403
x63=−22059.442734482x_{63} = -22059.442734482
x64=16259.0191266178x_{64} = 16259.0191266178
x65=23885.5492347971x_{65} = 23885.5492347971
x66=−24601.8026277242x_{66} = -24601.8026277242
x67=−21212.0138825575x_{67} = -21212.0138825575

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(8x−atan⁡(2x)4x2+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(8x−atan⁡(2x)4x2+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2} + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (8*x - atan(2*x))/(1 + 4*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(8x−atan⁡(2x)x(4x2+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(8x−atan⁡(2x)x(4x2+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x \left(4 x^{2} + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
8x−atan⁡(2x)4x2+1=−8x+atan⁡(2x)4x2+1\frac{8 x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2} + 1} = \frac{- 8 x + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2} + 1}
- No
8x−atan⁡(2x)4x2+1=−−8x+atan⁡(2x)4x2+1\frac{8 x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2} + 1} = - \frac{- 8 x + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{4 x^{2} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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