Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -2/9+x^2-cos(3*x)-sin(3*x)

Gráfico de la función y = -2/9+x^2-cos(3*x)-sin(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         2    2                      
f(x) = - - + x  - cos(3*x) - sin(3*x)
         9
f(x)=((x2−29)−cos⁡(3x))−sin⁡(3x)f{\left(x \right)} = \left(\left(x^{2} - \frac{2}{9}\right) - \cos{\left(3 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} 
f = x^2 - 2/9 - cos(3*x) - sin(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010200-100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((x2−29)−cos⁡(3x))−sin⁡(3x)=0\left(\left(x^{2} - \frac{2}{9}\right) - \cos{\left(3 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.716335842845827x_{1} = 0.716335842845827
x2=−0.293871742302707x_{2} = -0.293871742302707
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -2/9 + x^2 - cos(3*x) - sin(3*x).
(−cos⁡(0⋅3)+(−29+02))−sin⁡(0⋅3)\left(- \cos{\left(0 \cdot 3 \right)} + \left(- \frac{2}{9} + 0^{2}\right)\right) - \sin{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=−119f{\left(0 \right)} = - \frac{11}{9}
Punto:
(0, -11/9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+3sin⁡(3x)−3cos⁡(3x)=02 x + 3 \sin{\left(3 x \right)} - 3 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.59190065805747x_{1} = 1.59190065805747
x2=1.96242973930264x_{2} = 1.96242973930264
x3=−0.938088659603204x_{3} = -0.938088659603204
x4=0.226189449677104x_{4} = 0.226189449677104
x5=−1.55771141776512x_{5} = -1.55771141776512
Signos de extremos en los puntos:
(1.591900658057467, 3.24665118119819)

(1.9624297393026384, 3.0918920096504)

(-0.9380886596032035, 1.92620614006553)

(0.22618944967710414, -1.57721185606447)

(-1.5577114177651172, 1.24425765305966)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1.96242973930264x_{1} = 1.96242973930264
x2=0.226189449677104x_{2} = 0.226189449677104
x3=−1.55771141776512x_{3} = -1.55771141776512
Puntos máximos de la función:
x3=1.59190065805747x_{3} = 1.59190065805747
x3=−0.938088659603204x_{3} = -0.938088659603204
Decrece en los intervalos
[1.96242973930264,∞)\left[1.96242973930264, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1.55771141776512]\left(-\infty, -1.55771141776512\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
9sin⁡(3x)+9cos⁡(3x)+2=09 \sin{\left(3 x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)} + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(97−1587)3x_{1} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{9}{7} - \frac{\sqrt{158}}{7} \right)}}{3}
x2=2atan⁡(97+1587)3x_{2} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{9}{7} + \frac{\sqrt{158}}{7} \right)}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(97−1587)3,2atan⁡(97+1587)3]\left[\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{9}{7} - \frac{\sqrt{158}}{7} \right)}}{3}, \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{9}{7} + \frac{\sqrt{158}}{7} \right)}}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,2atan⁡(97−1587)3]∪[2atan⁡(97+1587)3,∞)\left(-\infty, \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{9}{7} - \frac{\sqrt{158}}{7} \right)}}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{9}{7} + \frac{\sqrt{158}}{7} \right)}}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((x2−29)−cos⁡(3x))−sin⁡(3x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(x^{2} - \frac{2}{9}\right) - \cos{\left(3 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((x2−29)−cos⁡(3x))−sin⁡(3x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(x^{2} - \frac{2}{9}\right) - \cos{\left(3 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -2/9 + x^2 - cos(3*x) - sin(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((x2−29)−cos⁡(3x))−sin⁡(3x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} - \frac{2}{9}\right) - \cos{\left(3 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(((x2−29)−cos⁡(3x))−sin⁡(3x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} - \frac{2}{9}\right) - \cos{\left(3 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((x2−29)−cos⁡(3x))−sin⁡(3x)=x2+sin⁡(3x)−cos⁡(3x)−29\left(\left(x^{2} - \frac{2}{9}\right) - \cos{\left(3 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} = x^{2} + \sin{\left(3 x \right)} - \cos{\left(3 x \right)} - \frac{2}{9}
- No
((x2−29)−cos⁡(3x))−sin⁡(3x)=−x2−sin⁡(3x)+cos⁡(3x)+29\left(\left(x^{2} - \frac{2}{9}\right) - \cos{\left(3 x \right)}\right) - \sin{\left(3 x \right)} = - x^{2} - \sin{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} + \frac{2}{9}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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