Sr Examen

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ln(cos(x))
Trazado el gráfico de la función/ ln(cos(x))

Gráfico de la función y = ln(cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = log(cos(x))
f(x)=log⁡(cos⁡(x))f{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} 
f = log(cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(cos⁡(x))=0\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Solución numérica
x1=−37.6991118203008x_{1} = -37.6991118203008
x2=−6.28318511692891x_{2} = -6.28318511692891
x3=−37.6991118773736x_{3} = -37.6991118773736
x4=−81.6814089617871x_{4} = -81.6814089617871
x5=−100.53096457631x_{5} = -100.53096457631
x6=75.3982226911418x_{6} = 75.3982226911418
x7=43.9822971695019x_{7} = 43.9822971695019
x8=87.9645943360512x_{8} = 87.9645943360512
x9=94.2477796068599x_{9} = 94.2477796068599
x10=−12.5663716213936x_{10} = -12.5663716213936
x11=100.530964753022x_{11} = 100.530964753022
x12=81.6814085526449x_{12} = 81.6814085526449
x13=−94.2477799001796x_{13} = -94.2477799001796
x14=−31.4159267264704x_{14} = -31.4159267264704
x15=−25.1327403562086x_{15} = -25.1327403562086
x16=−25.1327415878584x_{16} = -25.1327415878584
x17=−43.9822971932261x_{17} = -43.9822971932261
x18=69.1150390127643x_{18} = 69.1150390127643
x19=−56.5486674143785x_{19} = -56.5486674143785
x20=−87.9645943355219x_{20} = -87.9645943355219
x21=−31.4159262776781x_{21} = -31.4159262776781
x22=81.681409203672x_{22} = 81.681409203672
x23=−25.1327401930409x_{23} = -25.1327401930409
x24=25.1327418930934x_{24} = 25.1327418930934
x25=37.6991114441887x_{25} = 37.6991114441887
x26=−56.5486688343165x_{26} = -56.5486688343165
x27=69.1150378238503x_{27} = 69.1150378238503
x28=−43.9822971744998x_{28} = -43.9822971744998
x29=25.1327409700176x_{29} = 25.1327409700176
x30=0x_{30} = 0
x31=69.1150381807919x_{31} = 69.1150381807919
x32=100.530965106382x_{32} = 100.530965106382
x33=18.8495570029843x_{33} = 18.8495570029843
x34=56.5486679766099x_{34} = 56.5486679766099
x35=−75.3982234018825x_{35} = -75.3982234018825
x36=12.5663704334084x_{36} = 12.5663704334084
x37=94.2477796093522x_{37} = 94.2477796093522
x38=62.831852735923x_{38} = 62.831852735923
x39=25.1327418431203x_{39} = 25.1327418431203
x40=−69.1150374752626x_{40} = -69.1150374752626
x41=−87.9645943584596x_{41} = -87.9645943584596
x42=6.28318528416623x_{42} = 6.28318528416623
x43=62.8318542034359x_{43} = 62.8318542034359
x44=−100.530965897751x_{44} = -100.530965897751
x45=18.8495567580196x_{45} = 18.8495567580196
x46=−50.2654822771894x_{46} = -50.2654822771894
x47=18.8495555741382x_{47} = 18.8495555741382
x48=−69.1150387500801x_{48} = -69.1150387500801
x49=−12.5663702522378x_{49} = -12.5663702522378
x50=75.39822407273x_{50} = 75.39822407273
x51=69.1150390932802x_{51} = 69.1150390932802
x52=−62.8318536803612x_{52} = -62.8318536803612
x53=−50.2654827822791x_{53} = -50.2654827822791
x54=−75.3982238864105x_{54} = -75.3982238864105
x55=31.4159255304025x_{55} = 31.4159255304025
x56=12.5663708485373x_{56} = 12.5663708485373
x57=75.3982227418079x_{57} = 75.3982227418079
x58=−81.6814090384469x_{58} = -81.6814090384469
x59=−18.8495565116576x_{59} = -18.8495565116576
x60=−18.8495557286473x_{60} = -18.8495557286473
x61=−94.2477794374461x_{61} = -94.2477794374461
x62=62.8318538684035x_{62} = 62.8318538684035
x63=50.2654824640562x_{63} = 50.2654824640562
x64=−18.8495553258088x_{64} = -18.8495553258088
x65=−12.5663716386669x_{65} = -12.5663716386669
x66=−56.5486687640637x_{66} = -56.5486687640637
x67=31.4159255531763x_{67} = 31.4159255531763
x68=−18.8495562408585x_{68} = -18.8495562408585
x69=50.2654824463311x_{69} = 50.2654824463311
x70=6.28318532165763x_{70} = 6.28318532165763
x71=25.1327406563971x_{71} = 25.1327406563971
x72=−62.8318528736237x_{72} = -62.8318528736237
x73=−62.8318534517187x_{73} = -62.8318534517187
x74=56.5486675932357x_{74} = 56.5486675932357
x75=87.9645942296464x_{75} = 87.9645942296464
x76=−69.1150373853363x_{76} = -69.1150373853363
x77=−6.28318566745615x_{77} = -6.28318566745615
x78=−62.8318524940769x_{78} = -62.8318524940769
x79=31.4159269101267x_{79} = 31.4159269101267
x80=43.982297089421x_{80} = 43.982297089421
x81=37.6991120433529x_{81} = 37.6991120433529
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(cos(x)).
log⁡(cos⁡(0))\log{\left(\cos{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)cos⁡(x)=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(pi, pi*I)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(sin⁡2(x)cos⁡2(x)+1)=0- (\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(cos⁡(x))=log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(cos⁡(x))=log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(cos⁡(x))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(cos⁡(x))=log⁡(cos⁡(x))\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}
- Sí
log⁡(cos⁡(x))=−log⁡(cos⁡(x))\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = ln(cos(x))
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