Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ logsqrt(2)(|x|)

Gráfico de la función y = logsqrt(2)(|x|)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  ___\    
f(x) = log\\/ 2 /*|x|
f(x)=log⁡(2)∣x∣f{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{2} \right)} \left|{x}\right| 
f = log(sqrt(2))*|x|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(2)∣x∣=0\log{\left(\sqrt{2} \right)} \left|{x}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(sqrt(2))*|x|.
log⁡(2)∣0∣\log{\left(\sqrt{2} \right)} \left|{0}\right|
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
log⁡(2)sign⁡(x)=0\log{\left(\sqrt{2} \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(2)δ(x)=02 \log{\left(\sqrt{2} \right)} \delta\left(x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2)∣x∣)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\sqrt{2} \right)} \left|{x}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(log⁡(2)∣x∣)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\sqrt{2} \right)} \left|{x}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(sqrt(2))*|x|, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(2)∣x∣x)=−log⁡(2)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{2} \right)} \left|{x}\right|}{x}\right) = - \log{\left(\sqrt{2} \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xlog⁡(2)y = - x \log{\left(\sqrt{2} \right)}
lim⁡x→∞(log⁡(2)∣x∣x)=log⁡(2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\sqrt{2} \right)} \left|{x}\right|}{x}\right) = \log{\left(\sqrt{2} \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlog⁡(2)y = x \log{\left(\sqrt{2} \right)}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(2)∣x∣=log⁡(2)∣x∣\log{\left(\sqrt{2} \right)} \left|{x}\right| = \log{\left(\sqrt{2} \right)} \left|{x}\right|
- Sí
log⁡(2)∣x∣=−log⁡(2)∣x∣\log{\left(\sqrt{2} \right)} \left|{x}\right| = - \log{\left(\sqrt{2} \right)} \left|{x}\right|
- No
es decir, función
es
par
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