Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(cos(2*x-3))

Gráfico de la función y = log(cos(2*x-3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = log(cos(2*x - 3))
f(x)=log⁡(cos⁡(2x−3))f{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(2 x - 3 \right)} \right)} 
f = log(cos(2*x - 3))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(cos⁡(2x−3))=0\log{\left(\cos{\left(2 x - 3 \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
x2=32+πx_{2} = \frac{3}{2} + \pi
Solución numérica
x1=58.0486676692494x_{1} = 58.0486676692494
x2=−7.92477827673125x_{2} = -7.92477827673125
x3=73.7566312191606x_{3} = 73.7566312191606
x4=70.6150381336808x_{4} = 70.6150381336808
x5=92.6061870252117x_{5} = 92.6061870252117
x6=−26.7743338803417x_{6} = -26.7743338803417
x7=1.50000036628856x_{7} = 1.50000036628856
x8=−77.0398164814975x_{8} = -77.0398164814975
x9=39.1991118347172x_{9} = 39.1991118347172
x10=20.3495558571988x_{10} = 20.3495558571988
x11=92.6061867166268x_{11} = 92.6061867166268
x12=−70.7566310225095x_{12} = -70.7566310225095
x13=−58.1902602704114x_{13} = -58.1902602704114
x14=36.0575190562039x_{14} = 36.0575190562039
x15=−42.4822967419943x_{15} = -42.4822967419943
x16=42.3407044376452x_{16} = 42.3407044376452
x17=−42.482296664075x_{17} = -42.482296664075
x18=−55.0486679240968x_{18} = -55.0486679240968
x19=64.3318530181245x_{19} = 64.3318530181245
x20=−14.2079631075661x_{20} = -14.2079631075661
x21=−4.78318530889195x_{21} = -4.78318530889195
x22=98.8893714973164x_{22} = 98.8893714973164
x23=26.6327412439176x_{23} = 26.6327412439176
x24=−80.1814088517395x_{24} = -80.1814088517395
x25=−17.349555936709x_{25} = -17.349555936709
x26=7.78318547397097x_{26} = 7.78318547397097
x27=67.4734460248885x_{27} = 67.4734460248885
x28=−1.6415927232245x_{28} = -1.6415927232245
x29=51.765482637324x_{29} = 51.765482637324
x30=95.7477798011181x_{30} = 95.7477798011181
x31=−89.6061870448566x_{31} = -89.6061870448566
x32=45.4822977551994x_{32} = 45.4822977551994
x33=1.50000053642386x_{33} = 1.50000053642386
x34=−92.747779593219x_{34} = -92.747779593219
x35=−23.6327413036338x_{35} = -23.6327413036338
x36=−20.4911480653688x_{36} = -20.4911480653688
x37=−61.3318533698126x_{37} = -61.3318533698126
x38=14.0663704209511x_{38} = 14.0663704209511
x39=−39.3407047850781x_{39} = -39.3407047850781
x40=4.64159265218678x_{40} = 4.64159265218678
x41=17.2079632627963x_{41} = 17.2079632627963
x42=−20.4911482270984x_{42} = -20.4911482270984
x43=−64.4734452982655x_{43} = -64.4734452982655
x44=−36.1991116890236x_{44} = -36.1991116890236
x45=23.4911489192456x_{45} = 23.4911489192456
x46=48.6238895504951x_{46} = 48.6238895504951
x47=−86.4645938566005x_{47} = -86.4645938566005
x48=−67.6150384644424x_{48} = -67.6150384644424
x49=80.039816271268x_{49} = 80.039816271268
x50=61.1902604068607x_{50} = 61.1902604068607
x51=86.3230015986475x_{51} = 86.3230015986475
x52=−48.7654824515488x_{52} = -48.7654824515488
x53=−20.4911481873041x_{53} = -20.4911481873041
x54=−99.0309650408064x_{54} = -99.0309650408064
x55=−95.8893718226417x_{55} = -95.8893718226417
x56=−64.4734452604177x_{56} = -64.4734452604177
x57=−86.4645938548753x_{57} = -86.4645938548753
x58=−45.6238898840372x_{58} = -45.6238898840372
x59=−17.3495562007102x_{59} = -17.3495562007102
x60=67.4734463806069x_{60} = 67.4734463806069
x61=29.7743340555976x_{61} = 29.7743340555976
x62=26.63274096705x_{62} = 26.63274096705
x63=89.4645945782532x_{63} = 89.4645945782532
x64=83.1814089792103x_{64} = 83.1814089792103
x65=4.64159238332314x_{65} = 4.64159238332314
x66=70.6150384310865x_{66} = 70.6150384310865
x67=48.6238898372022x_{67} = 48.6238898372022
x68=−83.3230019549508x_{68} = -83.3230019549508
x69=45.4822974719891x_{69} = 45.4822974719891
x70=23.4911491425042x_{70} = 23.4911491425042
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(cos(2*x - 3)).
log⁡(cos⁡(−3+0⋅2))\log{\left(\cos{\left(-3 + 0 \cdot 2 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=log⁡(−cos⁡(3))+iπf{\left(0 \right)} = \log{\left(- \cos{\left(3 \right)} \right)} + i \pi
Punto:
(0, pi*i + log(-cos(3)))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2sin⁡(2x−3)cos⁡(2x−3)=0- \frac{2 \sin{\left(2 x - 3 \right)}}{\cos{\left(2 x - 3 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
x2=32+π2x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(3/2, 0)

 3   pi       
(- + --, pi*I)
 2   2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=32x_{2} = \frac{3}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,32]\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]
Crece en los intervalos
[32,∞)\left[\frac{3}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4(sin⁡2(2x−3)cos⁡2(2x−3)+1)=0- 4 \left(\frac{\sin^{2}{\left(2 x - 3 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x - 3 \right)}} + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(cos⁡(2x−3))=log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\cos{\left(2 x - 3 \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
lim⁡x→∞log⁡(cos⁡(2x−3))=log⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to \infty} \log{\left(\cos{\left(2 x - 3 \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=log⁡(⟨−1,1⟩)y = \log{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(cos(2*x - 3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(cos⁡(2x−3))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(2 x - 3 \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(cos⁡(2x−3))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\cos{\left(2 x - 3 \right)} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(cos⁡(2x−3))=log⁡(cos⁡(2x+3))\log{\left(\cos{\left(2 x - 3 \right)} \right)} = \log{\left(\cos{\left(2 x + 3 \right)} \right)}
- No
log⁡(cos⁡(2x−3))=−log⁡(cos⁡(2x+3))\log{\left(\cos{\left(2 x - 3 \right)} \right)} = - \log{\left(\cos{\left(2 x + 3 \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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