Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- 4 \left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\pi} + 2 \pi \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi$$
$$x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-1 - i \sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}}}}{2 \pi} \right)}$$
$$x_{6} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{-1 - i \sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}}}}{2 \pi} \right)}$$
$$x_{7} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-1 + i \sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}}}}{2 \pi} \right)}$$
$$x_{8} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{-1 + i \sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}}}}{2 \pi} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}} \right)}}{2} \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}} \right)}}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{-1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 2 \pi} \sqrt{1 + 4 \pi^{2}} \right)}}{2} \right)}} \right)}\right]$$