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Trazado el gráfico de la función/ 1/24*(x^2+8)*sqrt(x^2-4)+x^4/16*asin(2)/x

Gráfico de la función y = 1/24*(x^2+8)*sqrt(x^2-4)+x^4/16*asin(2)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                             4        
                            x         
        2        ________   --*asin(2)
       x  + 8   /  2        16        
f(x) = ------*\/  x  - 4  + ----------
         24                     x
f(x)=x2−4x2+824+x416asin⁡(2)xf{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} - 4} \frac{x^{2} + 8}{24} + \frac{\frac{x^{4}}{16} \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{x} 
f = sqrt(x^2 - 4)*((x^2 + 8)/24) + ((x^4/16)*asin(2))/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x^2 + 8)/24)*sqrt(x^2 - 4) + ((x^4/16)*asin(2))/x.
0416asin⁡(2)0+−4+0202+824\frac{\frac{0^{4}}{16} \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{0} + \sqrt{-4 + 0^{2}} \frac{0^{2} + 8}{24}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4x2x2−4−x2(x2+8)(x2−4)32+9xasin⁡(2)+2x2−4+x2+8x2−424=0\frac{\frac{4 x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}} - \frac{x^{2} \left(x^{2} + 8\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{\frac{3}{2}}} + 9 x \operatorname{asin}{\left(2 \right)} + 2 \sqrt{x^{2} - 4} + \frac{x^{2} + 8}{\sqrt{x^{2} - 4}}}{24} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(4x2x2−4−x2(x2+8)(x2−4)32+9xasin⁡(2)+2x2−4+x2+8x2−424)=0\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{4 x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}} - \frac{x^{2} \left(x^{2} + 8\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{\frac{3}{2}}} + 9 x \operatorname{asin}{\left(2 \right)} + 2 \sqrt{x^{2} - 4} + \frac{x^{2} + 8}{\sqrt{x^{2} - 4}}}{24}\right) = 0
lim⁡x→0+(4x2x2−4−x2(x2+8)(x2−4)32+9xasin⁡(2)+2x2−4+x2+8x2−424)=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{4 x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}} - \frac{x^{2} \left(x^{2} + 8\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{\frac{3}{2}}} + 9 x \operatorname{asin}{\left(2 \right)} + 2 \sqrt{x^{2} - 4} + \frac{x^{2} + 8}{\sqrt{x^{2} - 4}}}{24}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−4x2+824+x416asin⁡(2)x)=−∞sign⁡(−2+3asin⁡(2))\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} - 4} \frac{x^{2} + 8}{24} + \frac{\frac{x^{4}}{16} \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{x}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(-2 + 3 \operatorname{asin}{\left(2 \right)} \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−∞sign⁡(−2+3asin⁡(2))y = - \infty \operatorname{sign}{\left(-2 + 3 \operatorname{asin}{\left(2 \right)} \right)}
lim⁡x→∞(x2−4x2+824+x416asin⁡(2)x)=∞sign⁡(2+3asin⁡(2))\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} - 4} \frac{x^{2} + 8}{24} + \frac{\frac{x^{4}}{16} \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(2 + 3 \operatorname{asin}{\left(2 \right)} \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞sign⁡(2+3asin⁡(2))y = \infty \operatorname{sign}{\left(2 + 3 \operatorname{asin}{\left(2 \right)} \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x^2 + 8)/24)*sqrt(x^2 - 4) + ((x^4/16)*asin(2))/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2−4x2+824+x416asin⁡(2)xx)=∞sign⁡(−2+3asin⁡(2))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - 4} \frac{x^{2} + 8}{24} + \frac{\frac{x^{4}}{16} \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{x}}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(-2 + 3 \operatorname{asin}{\left(2 \right)} \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=∞xsign⁡(−2+3asin⁡(2))y = \infty x \operatorname{sign}{\left(-2 + 3 \operatorname{asin}{\left(2 \right)} \right)}
lim⁡x→∞(x2−4x2+824+x416asin⁡(2)xx)=∞sign⁡(2+3asin⁡(2))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - 4} \frac{x^{2} + 8}{24} + \frac{\frac{x^{4}}{16} \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{x}}{x}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(2 + 3 \operatorname{asin}{\left(2 \right)} \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=∞xsign⁡(2+3asin⁡(2))y = \infty x \operatorname{sign}{\left(2 + 3 \operatorname{asin}{\left(2 \right)} \right)}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2−4x2+824+x416asin⁡(2)x=−x3asin⁡(2)16+x2−4x2+824\sqrt{x^{2} - 4} \frac{x^{2} + 8}{24} + \frac{\frac{x^{4}}{16} \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{x} = - \frac{x^{3} \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{16} + \sqrt{x^{2} - 4} \frac{x^{2} + 8}{24}
- No
x2−4x2+824+x416asin⁡(2)x=x3asin⁡(2)16−x2−4x2+824\sqrt{x^{2} - 4} \frac{x^{2} + 8}{24} + \frac{\frac{x^{4}}{16} \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{x} = \frac{x^{3} \operatorname{asin}{\left(2 \right)}}{16} - \sqrt{x^{2} - 4} \frac{x^{2} + 8}{24}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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