Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -1/(2*sqrt(x)*(sqrt(x)+1)*log(sqrt(x)+1)^2)

Gráfico de la función y = -1/(2*sqrt(x)*(sqrt(x)+1)*log(sqrt(x)+1)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                       -1                 
f(x) = -----------------------------------
           ___ /  ___    \    2/  ___    \
       2*\/ x *\\/ x  + 1/*log \\/ x  + 1/
f(x)=−12x(x+1)log⁡(x+1)2f{\left(x \right)} = - \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right) \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}^{2}} 
f = -1/(((2*sqrt(x))*(sqrt(x) + 1))*log(sqrt(x) + 1)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−12x(x+1)log⁡(x+1)2=0- \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right) \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -1/(((2*sqrt(x))*(sqrt(x) + 1))*log(sqrt(x) + 1)^2).
−120(0+1)log⁡(0+1)2- \frac{1}{2 \sqrt{0} \left(\sqrt{0} + 1\right) \log{\left(\sqrt{0} + 1 \right)}^{2}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−−(1+x+1x)log⁡(x+1)2−2log⁡(x+1)4x(x+1)2log⁡(x+1)4=0- \frac{- \left(1 + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}\right) \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}^{2} - 2 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}}{4 x \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2} \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}^{4}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=153840.446086341x_{1} = 153840.446086341
x2=163293.661709759x_{2} = 163293.661709759
x3=116426.701923184x_{3} = 116426.701923184
x4=168033.620271022x_{4} = 168033.620271022
x5=182304.025257418x_{5} = 182304.025257418
x6=220693.555279267x_{6} = 220693.555279267
x7=172782.151650955x_{7} = 172782.151650955
x8=196645.74675546x_{8} = 196645.74675546
x9=225523.410289634x_{9} = 225523.410289634
x10=187076.941858785x_{10} = 187076.941858785
x11=125714.879644739x_{11} = 125714.879644739
x12=206243.968965342x_{12} = 206243.968965342
x13=158562.518327441x_{13} = 158562.518327441
x14=177539.026044157x_{14} = 177539.026044157
x15=215870.266382215x_{15} = 215870.266382215
x16=139731.445335217x_{16} = 139731.445335217
x17=149127.715717133x_{17} = 149127.715717133
x18=144424.614022023x_{18} = 144424.614022023
x19=130376.222047617x_{19} = 130376.222047617
x20=135048.533165149x_{20} = 135048.533165149
x21=121064.899131824x_{21} = 121064.899131824
x22=201441.267412037x_{22} = 201441.267412037
x23=191857.578407503x_{23} = 191857.578407503
x24=211053.687553723x_{24} = 211053.687553723
Signos de extremos en los puntos:
(153840.44608634108, -9.08254703672646e-8)

(163293.66170975872, -8.47281881205754e-8)

(116426.70192318386, -1.25747685963991e-7)

(168033.62027102185, -8.19509693245282e-8)

(182304.02525741755, -7.45328988941187e-8)

(220693.5552792667, -5.96879442567879e-8)

(172782.1516509546, -7.93345291823652e-8)

(196645.74675545993, -6.82493816044412e-8)

(225523.41028963422, -5.82064954401833e-8)

(187076.94185878456, -7.23254038370753e-8)

(125714.87964473906, -1.14957235587047e-7)

(206243.96896534174, -6.45720389102756e-8)

(158562.51832744083, -8.7680862378662e-8)

(177539.0260441566, -7.68657553064916e-8)

(215870.26638221493, -6.12393548162815e-8)

(139731.4453352174, -1.01608991548668e-7)

(149127.7157171329, -9.41805728490212e-8)

(144424.61402202342, -9.7767147863222e-8)

(130376.22204761654, -1.1017075627213e-7)

(135048.53316514898, -1.05733200599288e-7)

(121064.89913182402, -1.20133682983638e-7)

(201441.26741203654, -6.63644922306555e-8)

(191857.57840750282, -7.02337607207004e-8)

(211053.6875537226, -6.28656078175403e-8)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Crece en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−12x(x+1)log⁡(x+1)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right) \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(−12x(x+1)log⁡(x+1)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right) \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -1/(((2*sqrt(x))*(sqrt(x) + 1))*log(sqrt(x) + 1)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−121x1x+11log⁡(x+1)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \frac{1}{\log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−121x1x+11log⁡(x+1)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \frac{1}{\log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}^{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−12x(x+1)log⁡(x+1)2=−12−x(−x+1)log⁡(−x+1)2- \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right) \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}^{2}} = - \frac{1}{2 \sqrt{- x} \left(\sqrt{- x} + 1\right) \log{\left(\sqrt{- x} + 1 \right)}^{2}}
- No
−12x(x+1)log⁡(x+1)2=12−x(−x+1)log⁡(−x+1)2- \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right) \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}^{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{- x} \left(\sqrt{- x} + 1\right) \log{\left(\sqrt{- x} + 1 \right)}^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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