Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(3*x)^(5)

Gráfico de la función y = sin(3*x)^(5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          5     
f(x) = sin (3*x)
f(x)=sin⁡5(3x)f{\left(x \right)} = \sin^{5}{\left(3 x \right)} 
f = sin(3*x)^5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡5(3x)=0\sin^{5}{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π3x_{2} = \frac{\pi}{3}
Solución numérica
x1=94.2478033784411x_{1} = 94.2478033784411
x2=−85.8699766269158x_{2} = -85.8699766269158
x3=111.003174734303x_{3} = 111.003174734303
x4=−81.6821345500015x_{4} = -81.6821345500015
x5=30.3675090543952x_{5} = 30.3675090543952
x6=65.9737770106103x_{6} = 65.9737770106103
x7=−21.9912591717534x_{7} = -21.9912591717534
x8=90.0582749103318x_{8} = 90.0582749103318
x9=68.0670422496665x_{9} = 68.0670422496665
x10=48.171880222369x_{10} = 48.171880222369
x11=2.09353698276912x_{11} = 2.09353698276912
x12=81.6803796892807x_{12} = 81.6803796892807
x13=−97.3884081956497x_{13} = -97.3884081956497
x14=26.1806631313926x_{14} = 26.1806631313926
x15=−74.3507418689879x_{15} = -74.3507418689879
x16=−13.6149489035884x_{16} = -13.6149489035884
x17=−63.8792391990682x_{17} = -63.8792391990682
x18=43.9825182253445x_{18} = 43.9825182253445
x19=28.2740737065627x_{19} = 28.2740737065627
x20=−46.0757531151439x_{20} = -46.0757531151439
x21=−52.3607238965158x_{21} = -52.3607238965158
x22=−19.8975154454628x_{22} = -19.8975154454628
x23=−37.6996532604484x_{23} = -37.6996532604484
x24=−17.8018038437133x_{24} = -17.8018038437133
x25=8.37627899055724x_{25} = 8.37627899055724
x26=−43.9825182168424x_{26} = -43.9825182168424
x27=−90.0582601023278x_{27} = -90.0582601023278
x28=52.3587411180725x_{28} = 52.3587411180725
x29=−2.09325452707278x_{29} = -2.09325452707278
x30=6.28283091388343x_{30} = 6.28283091388343
x31=−83.7755282745447x_{31} = -83.7755282745447
x32=−68.0670057166761x_{32} = -68.0670057166761
x33=−87.9650347465003x_{33} = -87.9650347465003
x34=4.18943293629322x_{34} = 4.18943293629322
x35=−15.7084114563314x_{35} = -15.7084114563314
x36=−53.408034834963x_{36} = -53.408034834963
x37=46.0758333212778x_{37} = 46.0758333212778
x38=19.8979908455655x_{38} = 19.8979908455655
x39=21.9912591718836x_{39} = 21.9912591718836
x40=−96.3411656824872x_{40} = -96.3411656824872
x41=−39.793043933014x_{41} = -39.793043933014
x42=92.1542102410958x_{42} = 92.1542102410958
x43=24.0846606457516x_{43} = 24.0846606457516
x44=0x_{44} = 0
x45=−59.6908943451113x_{45} = -59.6908943451113
x46=−61.7842856843277x_{46} = -61.7842856843277
x47=−65.9737769105601x_{47} = -65.9737769105601
x48=87.9650353343723x_{48} = 87.9650353343723
x49=70.163071164087x_{49} = 70.163071164087
x50=50.2653167905102x_{50} = 50.2653167905102
x51=72.2565600488359x_{51} = 72.2565600488359
x52=−41.8884470208003x_{52} = -41.8884470208003
x53=74.3499750125988x_{53} = 74.3499750125988
x54=−75.3984300521231x_{54} = -75.3984300521231
x55=41.8892332139337x_{55} = 41.8892332139337
x56=−24.0845026146699x_{56} = -24.0845026146699
x57=96.3412105691463x_{57} = 96.3412105691463
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(3*x)^5.
sin⁡5(0⋅3)\sin^{5}{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
15sin⁡4(3x)cos⁡(3x)=015 \sin^{4}{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π6x_{2} = - \frac{\pi}{6}
x3=π6x_{3} = \frac{\pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

 -pi      
(----, -1)
  6       

 pi    
(--, 1)
 6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
[−π6,π6]\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π6]∪[π6,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
45(−sin⁡2(3x)+4cos⁡2(3x))sin⁡3(3x)=045 \left(- \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \sin^{3}{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2atan⁡(12−52)3x_{2} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{3}
x3=2atan⁡(12−52)3x_{3} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{3}
x4=−2atan⁡(12+52)3x_{4} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{3}
x5=2atan⁡(12+52)3x_{5} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(12+52)3,∞)\left[\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(12+52)3]\left(-\infty, - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡5(3x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin^{5}{\left(3 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞sin⁡5(3x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin^{5}{\left(3 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(3*x)^5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡5(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡5(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{5}{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡5(3x)=−sin⁡5(3x)\sin^{5}{\left(3 x \right)} = - \sin^{5}{\left(3 x \right)}
- No
sin⁡5(3x)=sin⁡5(3x)\sin^{5}{\left(3 x \right)} = \sin^{5}{\left(3 x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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