Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(pi/2*exp(-x))/exp(-x)

Gráfico de la función y = sin(pi/2*exp(-x))/exp(-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /pi  -x\
       sin|--*e  |
          \2     /
f(x) = -----------
            -x    
           e
f(x)=sin⁡(π2e−x)e−xf{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2} e^{- x} \right)}}{e^{- x}} 
f = sin((pi/2)*exp(-x))/exp(-x)
Gráfico de la función
2468221012141618200.52.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin((pi/2)*exp(-x))/exp(-x).
sin⁡(π2e−0)e−0\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2} e^{- 0} \right)}}{e^{- 0}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
π(2cos⁡(πe−x2)−πe−xsin⁡(πe−x2))4+exsin⁡(πe−x2)−πcos⁡(πe−x2)=0\frac{\pi \left(2 \cos{\left(\frac{\pi e^{- x}}{2} \right)} - \pi e^{- x} \sin{\left(\frac{\pi e^{- x}}{2} \right)}\right)}{4} + e^{x} \sin{\left(\frac{\pi e^{- x}}{2} \right)} - \pi \cos{\left(\frac{\pi e^{- x}}{2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=31.003471038789x_{1} = 31.003471038789
x2=46x_{2} = 46
x3=74x_{3} = 74
x4=−6.86484733637027x_{4} = -6.86484733637027
x5=−5.68357507844919x_{5} = -5.68357507844919
x6=80x_{6} = 80
x7=14.6754915275483x_{7} = 14.6754915275483
x8=58x_{8} = 58
x9=−0.557727318851493x_{9} = -0.557727318851493
x10=24.6753985861322x_{10} = 24.6753985861322
x11=86x_{11} = 86
x12=66x_{12} = 66
x13=84x_{13} = 84
x14=82x_{14} = 82
x15=52x_{15} = 52
x16=88x_{16} = 88
x17=100x_{17} = 100
x18=16.6753989679309x_{18} = 16.6753989679309
x19=30.7835656886832x_{19} = 30.7835656886832
x20=30.4956560070471x_{20} = 30.4956560070471
x21=32x_{21} = 32
x22=94x_{22} = 94
x23=42x_{23} = 42
x24=30.5835634933098x_{24} = 30.5835634933098
x25=38x_{25} = 38
x26=62x_{26} = 62
x27=50x_{27} = 50
x28=26.6753910139437x_{28} = 26.6753910139437
x29=64x_{29} = 64
x30=40x_{30} = 40
x31=76x_{31} = 76
x32=31.3333333333333x_{32} = 31.3333333333333
x33=44x_{33} = 44
x34=78x_{34} = 78
x35=60x_{35} = 60
x36=−7.81681989997503x_{36} = -7.81681989997503
x37=92x_{37} = 92
x38=48x_{38} = 48
x39=−1.78021672747819x_{39} = -1.78021672747819
x40=36x_{40} = 36
x41=54x_{41} = 54
x42=18.6753972727716x_{42} = 18.6753972727716
x43=30.9338554051014x_{43} = 30.9338554051014
x44=−8.18868909317223x_{44} = -8.18868909317223
x45=70x_{45} = 70
x46=96x_{46} = 96
x47=68x_{47} = 68
x48=98x_{48} = 98
x49=34x_{49} = 34
x50=20.6753972417002x_{50} = 20.6753972417002
x51=28.6726618600637x_{51} = 28.6726618600637
x52=90x_{52} = 90
x53=72x_{53} = 72
x54=22.6753972350376x_{54} = 22.6753972350376
x55=56x_{55} = 56

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[98,∞)\left[98, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−8.18868909317223]\left(-\infty, -8.18868909317223\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(π2e−x)e−x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2} e^{- x} \right)}}{e^{- x}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(sin⁡(π2e−x)e−x)=π2\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2} e^{- x} \right)}}{e^{- x}}\right) = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin((pi/2)*exp(-x))/exp(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(exsin⁡(π2e−x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(\frac{\pi}{2} e^{- x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(exsin⁡(π2e−x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(\frac{\pi}{2} e^{- x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(π2e−x)e−x=e−xsin⁡(πex2)\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2} e^{- x} \right)}}{e^{- x}} = e^{- x} \sin{\left(\frac{\pi e^{x}}{2} \right)}
- No
sin⁡(π2e−x)e−x=−e−xsin⁡(πex2)\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2} e^{- x} \right)}}{e^{- x}} = - e^{- x} \sin{\left(\frac{\pi e^{x}}{2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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