logx((3x-2)/(x+1))>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{3 x - 2}{x + 1} \log{\left(x \right)} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{3 x - 2}{x + 1} \log{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{2}{3}$$
=
$$\frac{17}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{3 x - 2}{x + 1} \log{\left(x \right)} > 0$$
$$\frac{-2 + \frac{3 \cdot 17}{30}}{\frac{17}{30} + 1} \log{\left(\frac{17}{30} \right)} > 0$$

      /17\    
-9*log|--|    
      \30/ > 0
----------    
    47        

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{2}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{2}{3}$$
$$x > 1$$