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Resolver desigualdades/ log(1-x,x+2)<1

log(1-x,x+2)<1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
log(1 - x)    
---------- < 1
log(x + 2)
log⁡(1−x)log⁡(x+2)<1\frac{\log{\left(1 - x \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}} < 1 
log(1 - x)/log(x + 2) < 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
log⁡(1−x)log⁡(x+2)<1\frac{\log{\left(1 - x \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}} < 1
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
log⁡(1−x)log⁡(x+2)=1\frac{\log{\left(1 - x \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}} = 1
Resolvemos:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Las raíces dadas
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−12+−110- \frac{1}{2} + - \frac{1}{10}
=
−35- \frac{3}{5}
lo sustituimos en la expresión
log⁡(1−x)log⁡(x+2)<1\frac{\log{\left(1 - x \right)}}{\log{\left(x + 2 \right)}} < 1
log⁡(1−−35)log⁡(−35+2)<1\frac{\log{\left(1 - - \frac{3}{5} \right)}}{\log{\left(- \frac{3}{5} + 2 \right)}} < 1
log(8/5)    
-------- < 1
log(7/5)

pero
log(8/5)    
-------- > 1
log(7/5)

Entonces
x<−12x < - \frac{1}{2}
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
x>−12x > - \frac{1}{2}
         _____  
        /
-------ο-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
05-20-15-10-5101520-10001000
Respuesta rápida [src] 
Or(And(-2 <= x, x < -1), And(-1/2 < x, x < 1))
(−2≤x∧x<−1)∨(−12<x∧x<1)\left(-2 \leq x \wedge x < -1\right) \vee \left(- \frac{1}{2} < x \wedge x < 1\right) 
((-2 <= x)∧(x < -1))∨((-1/2 < x)∧(x < 1))
Respuesta rápida 2 [src] 
[-2, -1) U (-1/2, 1)
x in [−2,−1)∪(−12,1)x\ in\ \left[-2, -1\right) \cup \left(- \frac{1}{2}, 1\right) 
x in Union(Interval.Ropen(-2, -1), Interval.open(-1/2, 1))
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