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Resolver desigualdades/ sin(x/3+pi/4)>=(-sqrt(2))*1/2

sin(x/3+pi/4)>=(-sqrt(2))*1/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
                  ___ 
   /x   pi\    -\/ 2  
sin|- + --| >= -------
   \3   4 /       2
sin⁡(x3+π4)≥(−1)22\sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2} 
sin(x/3 + pi/4) >= (-sqrt(2))/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(x3+π4)≥(−1)22\sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(x3+π4)=(−1)22\sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡(x3+π4)=(−1)22\sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x3+π4=2πn+asin⁡(−22)\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x3+π4=2πn−asin⁡(−22)+π\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi
O
x3+π4=2πn−π4\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}
x3+π4=2πn+5π4\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
π4\frac{\pi}{4}
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
x3=2πn−π2\frac{x}{3} = 2 \pi n - \frac{\pi}{2}
x3=2πn+π\frac{x}{3} = 2 \pi n + \pi
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
13\frac{1}{3}
x1=6πn−3π2x_{1} = 6 \pi n - \frac{3 \pi}{2}
x2=6πn+3πx_{2} = 6 \pi n + 3 \pi
x1=6πn−3π2x_{1} = 6 \pi n - \frac{3 \pi}{2}
x2=6πn+3πx_{2} = 6 \pi n + 3 \pi
Las raíces dadas
x1=6πn−3π2x_{1} = 6 \pi n - \frac{3 \pi}{2}
x2=6πn+3πx_{2} = 6 \pi n + 3 \pi
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(6πn−3π2)+−110\left(6 \pi n - \frac{3 \pi}{2}\right) + - \frac{1}{10}
=
6πn−3π2−1106 \pi n - \frac{3 \pi}{2} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(x3+π4)≥(−1)22\sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
sin⁡(6πn−3π2−1103+π4)≥(−1)22\sin{\left(\frac{6 \pi n - \frac{3 \pi}{2} - \frac{1}{10}}{3} + \frac{\pi}{4} \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}
                             ___ 
    /1    pi         \    -\/ 2  
-sin|-- + -- - 2*pi*n| >= -------
    \30   4          /       2

pero
                            ___ 
    /1    pi         \   -\/ 2  
-sin|-- + -- - 2*pi*n| < -------
    \30   4          /      2

Entonces
x≤6πn−3π2x \leq 6 \pi n - \frac{3 \pi}{2}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥6πn−3π2∧x≤6πn+3πx \geq 6 \pi n - \frac{3 \pi}{2} \wedge x \leq 6 \pi n + 3 \pi
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
-17.5-15.0-12.5-10.0-7.5-5.0-2.50.02.55.07.52-2
Respuesta rápida [src] 
  /                           /9*pi                \\
Or|And(0 <= x, x <= 3*pi), And|---- <= x, x <= 6*pi||
  \                           \ 2                  //
(0≤x∧x≤3π)∨(9π2≤x∧x≤6π)\left(0 \leq x \wedge x \leq 3 \pi\right) \vee \left(\frac{9 \pi}{2} \leq x \wedge x \leq 6 \pi\right) 
((0 <= x)∧(x <= 3*pi))∨((9*pi/2 <= x)∧(x <= 6*pi))
Respuesta rápida 2 [src] 
             9*pi       
[0, 3*pi] U [----, 6*pi]
              2
x in [0,3π]∪[9π2,6π]x\ in\ \left[0, 3 \pi\right] \cup \left[\frac{9 \pi}{2}, 6 \pi\right] 
x in Union(Interval(0, 3*pi), Interval(9*pi/2, 6*pi))
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