x+sqrt(x)-6>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\sqrt{x} + x\right) - 6 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sqrt{x} + x\right) - 6 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(\sqrt{x} + x\right) - 6 = 0$$
$$\sqrt{x} = 6 - x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x = \left(6 - x\right)^{2}$$
$$x = x^{2} - 12 x + 36$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 13 x - 36 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 13$$
$$c = -36$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(13)^2 - 4 * (-1) * (-36) = 25

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 9$$

Como
$$\sqrt{x} = 6 - x$$
y
$$\sqrt{x} \geq 0$$
entonces
$$6 - x \geq 0$$
o
$$x \leq 6$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{1} = 4$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 4$$
=
$$\frac{39}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sqrt{x} + x\right) - 6 > 0$$
$$-6 + \left(\sqrt{\frac{39}{10}} + \frac{39}{10}\right) > 0$$

         _____    
  21   \/ 390     
- -- + ------- > 0
  10      10      
    

Entonces
$$x < 4$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > 4$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1