lnx*(lnx+1)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e^{-1}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = e^{-1}$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-1}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-1}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} > 0$$
$$\left(\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-1} \right)} + 1\right) \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-1} \right)} > 0$$

/       /  1     -1\\    /  1     -1\    
|1 + log|- -- + e  ||*log|- -- + e  | > 0
\       \  10      //    \  10      /    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < e^{-1}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < e^{-1}$$
$$x > 1$$