lnx*(lnx+1)>0 desigualdades

Ha introducido [src]

log(x)*(log(x) + 1) > 0

\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} > 0

(log(x) + 1)*log(x) > 0

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} > 0

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} = 0

Resolvemos:

x_{1} = 1

x_{2} = e^{-1}

x_{1} = 1

x_{2} = e^{-1}

Las raíces dadas

x_{2} = e^{-1}

x_{1} = 1

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} < x_{2}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}

=

- \frac{1}{10} + e^{-1}

=

- \frac{1}{10} + e^{-1}

lo sustituimos en la expresión

\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} > 0

\left(\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-1} \right)} + 1\right) \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-1} \right)} > 0

/       /  1     -1\\    /  1     -1\    
|1 + log|- -- + e  ||*log|- -- + e  | > 0
\       \  10      //    \  10      /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

x < e^{-1}

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:

x < e^{-1}

x > 1

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida [src]

  /   /            -1\       \
Or\And\0 < x, x < e  /, 1 < x/

\left(0 < x \wedge x < e^{-1}\right) \vee 1 < x

(1 < x)∨((0 < x)∧(x < exp(-1)))

Respuesta rápida 2 [src]

     -1           
(0, e  ) U (1, oo)

x\ in\ \left(0, e^{-1}\right) \cup \left(1, \infty\right)

x in Union(Interval.open(0, exp(-1)), Interval.open(1, oo))