Sr Examen

lnx*(lnx+1)>0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
log(x)*(log(x) + 1) > 0
(log(x)+1)log(x)>0\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} > 0
(log(x) + 1)*log(x) > 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
(log(x)+1)log(x)>0\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} > 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
(log(x)+1)log(x)=0\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} = 0
Resolvemos:
x1=1x_{1} = 1
x2=e1x_{2} = e^{-1}
x1=1x_{1} = 1
x2=e1x_{2} = e^{-1}
Las raíces dadas
x2=e1x_{2} = e^{-1}
x1=1x_{1} = 1
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x2x_{0} < x_{2}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x2110x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}
=
110+e1- \frac{1}{10} + e^{-1}
=
110+e1- \frac{1}{10} + e^{-1}
lo sustituimos en la expresión
(log(x)+1)log(x)>0\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x \right)} > 0
(log(110+e1)+1)log(110+e1)>0\left(\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-1} \right)} + 1\right) \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-1} \right)} > 0
/       /  1     -1\\    /  1     -1\    
|1 + log|- -- + e  ||*log|- -- + e  | > 0
\       \  10      //    \  10      /    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x<e1x < e^{-1}
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x<e1x < e^{-1}
x>1x > 1
Solución de la desigualdad en el gráfico
02468-8-6-4-210-100100
Respuesta rápida [src]
  /   /            -1\       \
Or\And\0 < x, x < e  /, 1 < x/
(0<xx<e1)1<x\left(0 < x \wedge x < e^{-1}\right) \vee 1 < x
(1 < x)∨((0 < x)∧(x < exp(-1)))
Respuesta rápida 2 [src]
     -1           
(0, e  ) U (1, oo)
x in (0,e1)(1,)x\ in\ \left(0, e^{-1}\right) \cup \left(1, \infty\right)
x in Union(Interval.open(0, exp(-1)), Interval.open(1, oo))