lnx-(1/lnx)<3/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}} < \frac{3}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = \frac{3}{2}$$
Resolvemos:
$$x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}$$
$$x_{2} = e^{2}$$
$$x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}$$
$$x_{2} = e^{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = e^{- \frac{1}{2}}$$
$$x_{2} = e^{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{- \frac{1}{2}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{- \frac{1}{2}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x \right)} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}} < \frac{3}{2}$$
$$\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{- \frac{1}{2}} \right)} - \frac{1}{\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{- \frac{1}{2}} \right)}} < \frac{3}{2}$$

          1              /  1     -1/2\      
- ----------------- + log|- -- + e    |      
     /  1     -1/2\      \  10        / < 3/2
  log|- -- + e    |                          
     \  10        /                          

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < e^{- \frac{1}{2}}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < e^{- \frac{1}{2}}$$
$$x > e^{2}$$