x^2-7x-|3x-1|<12 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x^{2} - 7 x\right) - \left|{3 x - 1}\right| < 12$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x^{2} - 7 x\right) - \left|{3 x - 1}\right| = 12$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$3 x - 1 \geq 0$$
o
$$\frac{1}{3} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$x^{2} - 7 x - \left(3 x - 1\right) - 12 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x^{2} - 10 x - 11 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -1$$
pero x1 no satisface a la desigualdad
$$x_{2} = 11$$

2.
$$3 x - 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < \frac{1}{3}$$
obtenemos la ecuación
$$x^{2} - 7 x - \left(1 - 3 x\right) - 12 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x^{2} - 4 x - 13 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = 2 - \sqrt{17}$$
$$x_{4} = 2 + \sqrt{17}$$
pero x4 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = 11$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{17}$$
$$x_{1} = 11$$
$$x_{2} = 2 - \sqrt{17}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 2 - \sqrt{17}$$
$$x_{1} = 11$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 - \sqrt{17}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{19}{10} - \sqrt{17}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x^{2} - 7 x\right) - \left|{3 x - 1}\right| < 12$$
$$- \left|{3 \left(\frac{19}{10} - \sqrt{17}\right) - 1}\right| + \left(\left(\frac{19}{10} - \sqrt{17}\right)^{2} - 7 \left(\frac{19}{10} - \sqrt{17}\right)\right) < 12$$

                    2                
  43   /19     ____\        ____     
- -- + |-- - \/ 17 |  + 4*\/ 17  < 12
  5    \10         /                 
     

pero

                    2                
  43   /19     ____\        ____     
- -- + |-- - \/ 17 |  + 4*\/ 17  > 12
  5    \10         /                 
     

Entonces
$$x < 2 - \sqrt{17}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 2 - \sqrt{17} \wedge x < 11$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1