log^2(0.5)*(x-1)+5log(0.5)*(x-1)≥6 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 1\right) 5 \log{\left(\frac{1}{2} \right)} + \left(x - 1\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)}^{2} \geq 6$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 1\right) 5 \log{\left(\frac{1}{2} \right)} + \left(x - 1\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)}^{2} = 6$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:

log((1/2))^(2)*(x-1)+5*log((1/2))*(x-1) = 6

Abrimos la expresión:

- log(2)^2 + x*log(2)^2 + (5*log(1/2))*(x - 1) = 6

- log(2)^2 + x*log(2)^2 + 5*log(2) - 5*x*log(2) = 6

Reducimos, obtenemos:

-6 - log(2)^2 + 5*log(2) + x*log(2)^2 - 5*x*log(2) = 0

Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-6 - log2^2 + 5*log2 + x*log2^2 - 5*x*log2 = 0

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- 5 x \log{\left(2 \right)} + x \log{\left(2 \right)}^{2} - \log{\left(2 \right)}^{2} + 5 \log{\left(2 \right)} = 6$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (-log(2)^2 + 5*log(2) + x*log(2)^2 - 5*x*log(2))/x

x = 6 / ((-log(2)^2 + 5*log(2) + x*log(2)^2 - 5*x*log(2))/x)

Obtenemos la respuesta: x = (-6 - log(2)^2 + log(32))/((5 - log(2))*log(2))
$$x_{1} = \frac{-6 - \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(32 \right)}}{\left(5 - \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{-6 - \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(32 \right)}}{\left(5 - \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{-6 - \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(32 \right)}}{\left(5 - \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{-6 - \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(32 \right)}}{\left(5 - \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{-6 - \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(32 \right)}}{\left(5 - \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 1\right) 5 \log{\left(\frac{1}{2} \right)} + \left(x - 1\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)}^{2} \geq 6$$
$$\left(\left(\frac{-6 - \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(32 \right)}}{\left(5 - \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}\right) - 1\right) \log{\left(\frac{1}{2} \right)}^{2} + \left(\left(\frac{-6 - \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(32 \right)}}{\left(5 - \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}} - \frac{1}{10}\right) - 1\right) 5 \log{\left(\frac{1}{2} \right)} \geq 6$$

        /               2             \     /               2             \            
   2    |  11   -6 - log (2) + log(32)|     |  11   -6 - log (2) + log(32)|            
log (2)*|- -- + ----------------------| - 5*|- -- + ----------------------|*log(2) >= 6
        \  10    (5 - log(2))*log(2)  /     \  10    (5 - log(2))*log(2)  /            
     

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq \frac{-6 - \log{\left(2 \right)}^{2} + \log{\left(32 \right)}}{\left(5 - \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)}}$$

 _____          
      \    
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       x1