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Resolver desigualdades/ 4cos^2(x)+sin^2(x)>0

4cos^2(x)+sin^2(x)>0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
     2         2       
4*cos (x) + sin (x) > 0
sin⁡2(x)+4cos⁡2(x)>0\sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} > 0 
sin(x)^2 + 4*cos(x)^2 > 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡2(x)+4cos⁡2(x)>0\sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} > 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡2(x)+4cos⁡2(x)=0\sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡2(x)+4cos⁡2(x)=0\sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
cambiamos
4−3sin⁡2(x)=04 - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} = 0
4−3sin⁡2(x)=04 - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} = 0
Sustituimos
w=sin⁡(x)w = \sin{\left(x \right)}
Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
w1=D−b2aw_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
w2=−D−b2aw_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=−3a = -3
b=0b = 0
c=4c = 4
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (-3) * (4) = 48

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
w1=−233w_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}
w2=233w_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}
hacemos cambio inverso
sin⁡(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
Tenemos la ecuación
sin⁡(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x=2πn+asin⁡(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
x=2πn−asin⁡(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
O
x=2πn+asin⁡(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
x=2πn−asin⁡(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
x1=2πn+asin⁡(w1)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}
x1=2πn+asin⁡(−233)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}
x1=2πn−asin⁡(233)x_{1} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}
x2=2πn+asin⁡(w2)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}
x2=2πn+asin⁡(233)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}
x2=2πn+asin⁡(233)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}
x3=2πn−asin⁡(w1)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi
x3=2πn+π−asin⁡(−233)x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}
x3=2πn+π+asin⁡(233)x_{3} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}
x4=2πn−asin⁡(w2)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi
x4=2πn+π−asin⁡(233)x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}
x4=2πn+π−asin⁡(233)x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}
x1=−iatanh⁡(2)x_{1} = - i \operatorname{atanh}{\left(2 \right)}
x2=iatanh⁡(2)x_{2} = i \operatorname{atanh}{\left(2 \right)}
Descartamos las soluciones complejas:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo
x0 = 0

sin⁡2(0)+4cos⁡2(0)>0\sin^{2}{\left(0 \right)} + 4 \cos^{2}{\left(0 \right)} > 0
4 > 0

signo desigualdades se cumple cuando
Solución de la desigualdad en el gráfico
02468-8-6-4-2-101005
Respuesta rápida 2 [src] 
(-oo, oo)
x in (−∞,∞)x\ in\ \left(-\infty, \infty\right) 
x in Interval(-oo, oo)
Respuesta rápida [src] 
And(-oo < x, x < oo)
−∞<x∧x<∞-\infty < x \wedge x < \infty 
(-oo < x)∧(x < oo)
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