lg(4x+1)>2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(4 x + 1 \right)} > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(4 x + 1 \right)} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\log{\left(4 x + 1 \right)} = 2$$
$$\log{\left(4 x + 1 \right)} = 2$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$4 x + 1 = e^{\frac{2}{1}}$$
simplificamos
$$4 x + 1 = e^{2}$$
$$4 x = -1 + e^{2}$$
$$x = - \frac{1}{4} + \frac{e^{2}}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{e^{2}}{4}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{e^{2}}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{1}{4} + \frac{e^{2}}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(- \frac{1}{4} + \frac{e^{2}}{4}\right)$$
=
$$- \frac{7}{20} + \frac{e^{2}}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(4 x + 1 \right)} > 2$$
$$\log{\left(1 + 4 \left(- \frac{7}{20} + \frac{e^{2}}{4}\right) \right)} > 2$$

   /  2    2\    
log|- - + e | > 2
   \  5     /    

Entonces
$$x < - \frac{1}{4} + \frac{e^{2}}{4}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > - \frac{1}{4} + \frac{e^{2}}{4}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1