Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
x^2-x-1>0
- 8x<-16
-
x^2+x≥0
-
2x-3>0
- Integral de d{x}:
- x^2-x-1
- Factorizar el polinomio:
- x^2-x-1
- Descomponer al cuadrado:
- x^2-x-1
-
Expresiones idénticas
- x^ dos -x- uno > cero
- x al cuadrado menos x menos 1 más 0
- x en el grado dos menos x menos uno más cero
- x2-x-1>0
- x²-x-1>0
- x en el grado 2-x-1>0
-
Expresiones semejantes
- x^2-x+1>0
- x^2+x-1>0
x^2-x-1>0 desigualdades
Solución
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\left(x^{2} - x\right) - 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x^{2} - x\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x^{2} - x\right) - 1 > 0$$
$$-1 + \left(\left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2} - \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right) > 0$$
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x > \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$\left(x^{2} - x\right) - 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x^{2} - x\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -1$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x^{2} - x\right) - 1 > 0$$
$$-1 + \left(\left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2} - \left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right)\right) > 0$$
2
/ ___\ ___
7 |2 \/ 5 | \/ 5 > 0
- - + |- - -----| + -----
5 \5 2 / 2 significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x2 x1Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x > \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/ / ___\ / ___ \\ | | 1 \/ 5 | | 1 \/ 5 || Or|And|-oo < x, x < - - -----|, And|x < oo, - + ----- < x|| \ \ 2 2 / \ 2 2 //
$$\left(-\infty < x \wedge x < \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} < x\right)$$
((-oo < x)∧(x < 1/2 - sqrt(5)/2))∨((x < oo)∧(1/2 + sqrt(5)/2 < x))
Respuesta rápida 2
[src]
___ ___
1 \/ 5 1 \/ 5
(-oo, - - -----) U (- + -----, oo)
2 2 2 2
$$x\ in\ \left(-\infty, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$
x in Union(Interval.open(-oo, 1/2 - sqrt(5)/2), Interval.open(1/2 + sqrt(5)/2, oo))
Gráfico