Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
(x+4)(x-8)>0
-
(x+4)*(x-8)>0
-
(x-1)^2*(x-4)<=0
-
(x-1)(x-3)>0
- Integral de d{x}:
- x^2+x-1
- Derivada de:
-
x^2+x-1
- Descomponer al cuadrado:
- x^2+x-1
-
Expresiones idénticas
- x^ dos +x- uno > cero
- x al cuadrado más x menos 1 más 0
- x en el grado dos más x menos uno más cero
- x2+x-1>0
- x²+x-1>0
- x en el grado 2+x-1>0
-
Expresiones semejantes
- x^2+x+1>0
- x^2-x-1>0
x^2+x-1>0 desigualdades
Solución
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\left(x^{2} + x\right) - 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x^{2} + x\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x^{2} + x\right) - 1 > 0$$
$$-1 + \left(\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{5}\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{5}\right)^{2}\right) > 0$$
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x > - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$\left(x^{2} + x\right) - 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x^{2} + x\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x^{2} + x\right) - 1 > 0$$
$$-1 + \left(\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{5}\right) + \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{3}{5}\right)^{2}\right) > 0$$
2
/ ___\ ___
8 | 3 \/ 5 | \/ 5 > 0
- - + |- - - -----| - -----
5 \ 5 2 / 2 significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x2 x1Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x > - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/ / ___\ / ___ \\ | | 1 \/ 5 | | 1 \/ 5 || Or|And|-oo < x, x < - - - -----|, And|x < oo, - - + ----- < x|| \ \ 2 2 / \ 2 2 //
$$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right) \vee \left(x < \infty \wedge - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} < x\right)$$
((-oo < x)∧(x < -1/2 - sqrt(5)/2))∨((x < oo)∧(-1/2 + sqrt(5)/2 < x))
Respuesta rápida 2
[src]
___ ___
1 \/ 5 1 \/ 5
(-oo, - - - -----) U (- - + -----, oo)
2 2 2 2
$$x\ in\ \left(-\infty, - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right) \cup \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$
x in Union(Interval.open(-oo, -sqrt(5)/2 - 1/2), Interval.open(-1/2 + sqrt(5)/2, oo))
Gráfico