Sr Examen

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sqrt(2)*sin*(1/2*(x))<=1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
  ___    /x\     
\/ 2 *sin|-| <= 1
         \2/     
2sin(x2)1\sqrt{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \leq 1
sqrt(2)*sin(x/2) <= 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
2sin(x2)1\sqrt{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \leq 1
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
2sin(x2)=1\sqrt{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 1
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
2sin(x2)=1\sqrt{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = 1
es la ecuación trigonométrica más simple
Dividamos ambos miembros de la ecuación en sqrt(2)

La ecuación se convierte en
sin(x2)=22\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Esta ecuación se reorganiza en
x2=2πn+asin(22)\frac{x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x2=2πnasin(22)+π\frac{x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi
O
x2=2πn+π4\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}
x2=2πn+3π4\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
12\frac{1}{2}
x1=4πn+π2x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}
x2=4πn+3π2x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}
x1=4πn+π2x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}
x2=4πn+3π2x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}
Las raíces dadas
x1=4πn+π2x_{1} = 4 \pi n + \frac{\pi}{2}
x2=4πn+3π2x_{2} = 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(4πn+π2)+110\left(4 \pi n + \frac{\pi}{2}\right) + - \frac{1}{10}
=
4πn110+π24 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}
lo sustituimos en la expresión
2sin(x2)1\sqrt{2} \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \leq 1
2sin(4πn110+π22)1\sqrt{2} \sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}}{2} \right)} \leq 1
  ___    /  1    pi         \     
\/ 2 *sin|- -- + -- + 2*pi*n| <= 1
         \  20   4          /     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x4πn+π2x \leq 4 \pi n + \frac{\pi}{2}
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x4πn+π2x \leq 4 \pi n + \frac{\pi}{2}
x4πn+3π2x \geq 4 \pi n + \frac{3 \pi}{2}
Solución de la desigualdad en el gráfico
05-25-20-15-10-51015202530355-5
Respuesta rápida 2 [src]
    pi     3*pi       
[0, --] U [----, 4*pi]
    2       2         
x in [0,π2][3π2,4π]x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, 4 \pi\right]
x in Union(Interval(0, pi/2), Interval(3*pi/2, 4*pi))
Respuesta rápida [src]
  /   /             pi\     /3*pi                \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x <= 4*pi||
  \   \             2 /     \ 2                  //
(0xxπ2)(3π2xx4π)\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{2}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{2} \leq x \wedge x \leq 4 \pi\right)
((0 <= x)∧(x <= pi/2))∨((3*pi/2 <= x)∧(x <= 4*pi))