sqrt(x-1)-sqrt(x-6)>=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \sqrt{x - 6} + \sqrt{x - 1} \geq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \sqrt{x - 6} + \sqrt{x - 1} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{x - 6} + \sqrt{x - 1} = 2$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{x - 6} + \sqrt{x - 1}\right)^{2} = 4$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(x - 6\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(x - 6\right) \left(x - 1\right)} + 1^{2} \left(x - 1\right)\right) = 4$$
o
$$2 x - 2 \sqrt{x^{2} - 7 x + 6} - 7 = 4$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{x^{2} - 7 x + 6} = 11 - 2 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$4 x^{2} - 28 x + 24 = \left(11 - 2 x\right)^{2}$$
$$4 x^{2} - 28 x + 24 = 4 x^{2} - 44 x + 121$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$16 x - 97 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$16 x = 97$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 16

x = 97 / (16)

Como
$$\sqrt{x^{2} - 7 x + 6} = x - \frac{11}{2}$$
y
$$\sqrt{x^{2} - 7 x + 6} \geq 0$$
entonces
$$x - \frac{11}{2} \geq 0$$
o
$$\frac{11}{2} \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = \frac{97}{16}$$
comprobamos:
$$x_{1} = \frac{97}{16}$$
$$- \sqrt{x_{1} - 6} + \sqrt{x_{1} - 1} - 2 = 0$$
=
$$-2 + \left(- \sqrt{-6 + \frac{97}{16}} + \sqrt{-1 + \frac{97}{16}}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = \frac{97}{16}$$
$$x_{1} = \frac{97}{16}$$
$$x_{1} = \frac{97}{16}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{97}{16}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{97}{16}$$
=
$$\frac{477}{80}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \sqrt{x - 6} + \sqrt{x - 1} \geq 2$$
$$\sqrt{-1 + \frac{477}{80}} - \sqrt{-6 + \frac{477}{80}} \geq 2$$

  ______       ____     
\/ 1985    I*\/ 15      
-------- - -------- >= 2
   20         20        
     

Entonces
$$x \leq \frac{97}{16}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{97}{16}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1