sin^2x≥-√2/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
cambiamos
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$$
$$\sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2} = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (sqrt(2)/2) = -2*sqrt(2)

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + i \operatorname{asinh}{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - i \operatorname{asinh}{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - i \operatorname{asinh}{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \frac{2^{\frac{3}{4}} i}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + i \operatorname{asinh}{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = - i \operatorname{asinh}{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = i \operatorname{asinh}{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = \pi - i \operatorname{asinh}{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \pi + i \operatorname{asinh}{\left(\frac{2^{\frac{3}{4}}}{2} \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$\sin^{2}{\left(0 \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$

        ___ 
     -\/ 2  
0 >= -------
        2   
     

signo desigualdades se cumple cuando