cos(4x)<=√3/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(4 x \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(4 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(4 x \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$4 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$4 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
O
$$4 x = \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$4 x = \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$4$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{24}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} - \frac{5 \pi}{24}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{24}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} - \frac{5 \pi}{24}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{24}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{4} - \frac{5 \pi}{24}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{24}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{4} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{24}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(4 x \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(4 \left(\frac{\pi n}{4} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{24}\right) \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

                          ___
   /  2   pi       \    \/ 3 
cos|- - + -- + pi*n| <= -----
   \  5   6        /      2  
                        

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{24}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \frac{\pi n}{4} + \frac{\pi}{24}$$
$$x \geq \frac{\pi n}{4} - \frac{5 \pi}{24}$$