Sr Examen

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cos(4x)
Trazado el gráfico de la función/ cos(4x)

Gráfico de la función y = cos(4x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = cos(4*x)
f(x)=cos⁡(4x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)} 
f = cos(4*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(4x)=0\cos{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π8x_{1} = \frac{\pi}{8}
x2=3π8x_{2} = \frac{3 \pi}{8}
Solución numérica
x1=96.9966731795849x_{1} = 96.9966731795849
x2=−100.138265833175x_{2} = -100.138265833175
x3=38.0918109247762x_{3} = 38.0918109247762
x4=−21.5984494934298x_{4} = -21.5984494934298
x5=23.9546439836222x_{5} = 23.9546439836222
x6=1.96349540849362x_{6} = 1.96349540849362
x7=70.2931356240716x_{7} = 70.2931356240716
x8=84.4303025652257x_{8} = 84.4303025652257
x9=86.0010988920206x_{9} = 86.0010988920206
x10=−39.6626072515711x_{10} = -39.6626072515711
x11=27.8816348006094x_{11} = 27.8816348006094
x12=20.0276531666349x_{12} = 20.0276531666349
x13=−61.6537558266997x_{13} = -61.6537558266997
x14=−9.8174770424681x_{14} = -9.8174770424681
x15=−87.5718952188155x_{15} = -87.5718952188155
x16=−97.7820713429823x_{16} = -97.7820713429823
x17=−5.89048622548086x_{17} = -5.89048622548086
x18=−67.9369411338793x_{18} = -67.9369411338793
x19=89.9280897090078x_{19} = 89.9280897090078
x20=67.9369411338793x_{20} = 67.9369411338793
x21=49.872783375738x_{21} = 49.872783375738
x22=4.31968989868597x_{22} = 4.31968989868597
x23=64.009950316892x_{23} = 64.009950316892
x24=53.7997741927252x_{24} = 53.7997741927252
x25=−10.6028752058656x_{25} = -10.6028752058656
x26=44.3749962319558x_{26} = 44.3749962319558
x27=−75.7909227678538x_{27} = -75.7909227678538
x28=48.3019870489431x_{28} = 48.3019870489431
x29=66.3661448070844x_{29} = 66.3661448070844
x30=56.1559686829176x_{30} = 56.1559686829176
x31=71.8639319508665x_{31} = 71.8639319508665
x32=−56.1559686829176x_{32} = -56.1559686829176
x33=−45.9457925587507x_{33} = -45.9457925587507
x34=−34.164820107789x_{34} = -34.164820107789
x35=26.3108384738145x_{35} = 26.3108384738145
x36=−38.0918109247762x_{36} = -38.0918109247762
x37=82.0741080750334x_{37} = 82.0741080750334
x38=−16.1006623496477x_{38} = -16.1006623496477
x39=−20.8130513300324x_{39} = -20.8130513300324
x40=74.2201264410589x_{40} = 74.2201264410589
x41=−78.1471172580461x_{41} = -78.1471172580461
x42=−31.8086256175967x_{42} = -31.8086256175967
x43=96.2112750161874x_{43} = 96.2112750161874
x44=−65.5807466436869x_{44} = -65.5807466436869
x45=−13.7444678594553x_{45} = -13.7444678594553
x46=−17.6714586764426x_{46} = -17.6714586764426
x47=12.1736715326604x_{47} = 12.1736715326604
x48=31.8086256175967x_{48} = 31.8086256175967
x49=−23.9546439836222x_{49} = -23.9546439836222
x50=−20.0276531666349x_{50} = -20.0276531666349
x51=40.4480054149686x_{51} = 40.4480054149686
x52=−89.9280897090078x_{52} = -89.9280897090078
x53=8.24668071567321x_{53} = 8.24668071567321
x54=−60.0829594999048x_{54} = -60.0829594999048
x55=−1.96349540849362x_{55} = -1.96349540849362
x56=−49.872783375738x_{56} = -49.872783375738
x57=−71.8639319508665x_{57} = -71.8639319508665
x58=−86.0010988920206x_{58} = -86.0010988920206
x59=−82.0741080750334x_{59} = -82.0741080750334
x60=54.5851723561227x_{60} = 54.5851723561227
x61=−83.6449044018282x_{61} = -83.6449044018282
x62=60.0829594999048x_{62} = 60.0829594999048
x63=−43.5895980685584x_{63} = -43.5895980685584
x64=−12.1736715326604x_{64} = -12.1736715326604
x65=9.8174770424681x_{65} = 9.8174770424681
x66=93.8550805259951x_{66} = 93.8550805259951
x67=30.2378292908018x_{67} = 30.2378292908018
x68=45.9457925587507x_{68} = 45.9457925587507
x69=−53.7997741927252x_{69} = -53.7997741927252
x70=122.914812571701x_{70} = 122.914812571701
x71=34.164820107789x_{71} = 34.164820107789
x72=−2.74889357189107x_{72} = -2.74889357189107
x73=5.89048622548086x_{73} = 5.89048622548086
x74=−35.7356164345839x_{74} = -35.7356164345839
x75=52.2289778659303x_{75} = 52.2289778659303
x76=104.850654813559x_{76} = 104.850654813559
x77=−42.0188017417635x_{77} = -42.0188017417635
x78=88.3572933822129x_{78} = 88.3572933822129
x79=−75.0055246044563x_{79} = -75.0055246044563
x80=−96.9966731795849x_{80} = -96.9966731795849
x81=−93.8550805259951x_{81} = -93.8550805259951
x82=78.1471172580461x_{82} = 78.1471172580461
x83=−27.8816348006094x_{83} = -27.8816348006094
x84=100.138265833175x_{84} = 100.138265833175
x85=62.4391539900971x_{85} = 62.4391539900971
x86=−64.009950316892x_{86} = -64.009950316892
x87=−68.7223392972767x_{87} = -68.7223392972767
x88=−79.717913584841x_{88} = -79.717913584841
x89=16.1006623496477x_{89} = 16.1006623496477
x90=92.2842841992002x_{90} = 92.2842841992002
x91=0.392699081698724x_{91} = 0.392699081698724
x92=42.0188017417635x_{92} = 42.0188017417635
x93=22.3838476568273x_{93} = 22.3838476568273
x94=−57.7267650097125x_{94} = -57.7267650097125
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(4*x).
cos⁡(0⋅4)\cos{\left(0 \cdot 4 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(4x)=0- 4 \sin{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

 pi     
(--, -1)
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π4,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−16cos⁡(4x)=0- 16 \cos{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π8x_{1} = \frac{\pi}{8}
x2=3π8x_{2} = \frac{3 \pi}{8}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π8,3π8]\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π8]∪[3π8,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{8}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(4x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(4 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(4x)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(4 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(4x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(4x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(4x)=cos⁡(4x)\cos{\left(4 x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}
- Sí
cos⁡(4x)=−cos⁡(4x)\cos{\left(4 x \right)} = - \cos{\left(4 x \right)}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = cos(4x)
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