Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x-pi/3)+2

Gráfico de la función y = cos(x-pi/3)+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\    
f(x) = cos|x - --| + 2
          \    3 /
f(x)=cos⁡(x−π3)+2f{\left(x \right)} = \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 2 
f = cos(x - pi/3) + 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x−π3)+2=0\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x - pi/3) + 2.
cos⁡(−π3)+2\cos{\left(- \frac{\pi}{3} \right)} + 2
Resultado:
f(0)=52f{\left(0 \right)} = \frac{5}{2}
Punto:
(0, 5/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x−π3)=0- \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 pi         /pi   pi\ 
(--, 2 + cos|-- - --|)
 3          \3    3 / 

 4*pi         /pi   pi\ 
(----, 2 - cos|-- - --|)
  3           \3    3 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4π3x_{1} = \frac{4 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,π3]∪[4π3,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[π3,4π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡(x+π6)=0- \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−π6]∪[5π6,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−π6,5π6]\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x−π3)+2)=⟨1,3⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 2\right) = \left\langle 1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨1,3⟩y = \left\langle 1, 3\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x−π3)+2)=⟨1,3⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 2\right) = \left\langle 1, 3\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨1,3⟩y = \left\langle 1, 3\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x - pi/3) + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x−π3)+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x−π3)+2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x−π3)+2=cos⁡(x+π3)+2\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 2 = \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} + 2
- No
cos⁡(x−π3)+2=−cos⁡(x+π3)−2\cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} + 2 = - \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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