lg^2x+lgx>2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)} > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = e$$
$$x_{2} = e^{-2}$$
$$x_{1} = e$$
$$x_{2} = e^{-2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = e^{-2}$$
$$x_{1} = e$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(x \right)} > 2$$
$$\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-2} \right)} + \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-2} \right)}^{2} > 2$$

   2/  1     -2\      /  1     -2\    
log |- -- + e  | + log|- -- + e  | > 2
    \  10      /      \  10      /    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < e^{-2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < e^{-2}$$
$$x > e$$