lg^2x+3lgx<4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} < 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} = 4$$
Resolvemos:
$$x_{1} = e$$
$$x_{2} = e^{-4}$$
$$x_{1} = e$$
$$x_{2} = e^{-4}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = e^{-4}$$
$$x_{1} = e$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-4}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x \right)}^{2} + 3 \log{\left(x \right)} < 4$$
$$\log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-4} \right)}^{2} + 3 \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-4} \right)} < 4$$

                      2                               
/          /1     -4\\         /1     -4\             
|pi*I + log|-- - e  ||  + 3*log|-- - e  | + 3*pi*I < 4
\          \10      //         \10      /             
    

Entonces
$$x < e^{-4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > e^{-4} \wedge x < e$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1