log(sqrt(3))*log(sqrt(2))*(x-log(5)6)<4 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(\sqrt{2} \right)} \log{\left(\sqrt{3} \right)} \left(x - 6 \log{\left(5 \right)}\right) < 4$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(\sqrt{2} \right)} \log{\left(\sqrt{3} \right)} \left(x - 6 \log{\left(5 \right)}\right) = 4$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:

log(sqrt(3))*log(sqrt(2))*(x-log(5)*6) = 4

Abrimos la expresión:

-3*log(2)*log(3)*log(5)/2 + x*log(2)*log(3)/4 = 4

Reducimos, obtenemos:

-4 - 3*log(2)*log(3)*log(5)/2 + x*log(2)*log(3)/4 = 0

Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-4 - 3*log2log3log5/2 + x*log2log3/4 = 0

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$\frac{x \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}{4} - \frac{3 \log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)} \log{\left(5 \right)}}{2} = 4$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (-3*log(2)*log(3)*log(5)/2 + x*log(2)*log(3)/4)/x

x = 4 / ((-3*log(2)*log(3)*log(5)/2 + x*log(2)*log(3)/4)/x)

Obtenemos la respuesta: x = 6*log(5) + 16/(log(2)*log(3))
$$x_{1} = 6 \log{\left(5 \right)} + \frac{16}{\log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = 6 \log{\left(5 \right)} + \frac{16}{\log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 6 \log{\left(5 \right)} + \frac{16}{\log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(6 \log{\left(5 \right)} + \frac{16}{\log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}\right)$$
=
$$- \frac{1}{10} + 6 \log{\left(5 \right)} + \frac{16}{\log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(\sqrt{2} \right)} \log{\left(\sqrt{3} \right)} \left(x - 6 \log{\left(5 \right)}\right) < 4$$
$$\log{\left(\sqrt{2} \right)} \log{\left(\sqrt{3} \right)} \left(- 6 \log{\left(5 \right)} + \left(- \frac{1}{10} + 6 \log{\left(5 \right)} + \frac{16}{\log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}\right)\right) < 4$$

/  1          16     \    /  ___\    /  ___\    
|- -- + -------------|*log\\/ 2 /*log\\/ 3 / < 4
\  10   log(2)*log(3)/                          

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < 6 \log{\left(5 \right)} + \frac{16}{\log{\left(2 \right)} \log{\left(3 \right)}}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1