(tg(x)+1)(sqrt[3]-ctg(x))<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \cot{\left(x \right)} + \sqrt{3}\right) \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \cot{\left(x \right)} + \sqrt{3}\right) = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\tan{\left(x \right)} + 1\right) \left(- \cot{\left(x \right)} + \sqrt{3}\right) \leq 0$$
$$\left(\tan{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} + 1\right) \left(- \cot{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} + \sqrt{3}\right) \leq 0$$

/       /1    pi\\ /  ___      /1    pi\\     
|1 - tan|-- + --||*|\/ 3  + cot|-- + --|| <= 0
\       \10   4 // \           \10   4 //     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{\pi}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{\pi}{4}$$
$$x \geq \frac{\pi}{6}$$