log(1/5)x<=-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \log{\left(\frac{1}{5} \right)} \leq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \log{\left(\frac{1}{5} \right)} = -1$$
Resolvemos:
Tenemos una ecuación lineal:

log(1/5)*x = -1

Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

log1/5x = -1

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -log(5)

x = -1 / (-log(5))

$$x_{1} = \frac{1}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{\log{\left(5 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{\log{\left(5 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{\log{\left(5 \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{\log{\left(5 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \log{\left(\frac{1}{5} \right)} \leq -1$$
$$\left(- \frac{1}{10} + \frac{1}{\log{\left(5 \right)}}\right) \log{\left(\frac{1}{5} \right)} \leq -1$$

 /  1      1   \             
-|- -- + ------|*log(5) <= -1
 \  10   log(5)/             

pero

 /  1      1   \             
-|- -- + ------|*log(5) >= -1
 \  10   log(5)/             

Entonces
$$x \leq \frac{1}{\log{\left(5 \right)}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{1}{\log{\left(5 \right)}}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1