sin(cos(x))<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = 0$$
cambiamos
$$\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - 1 = 0$$
$$\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$
Transportamos los términos libres (sin w)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$w = 1$$
Obtenemos la respuesta: w = 1
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi - \operatorname{acos}{\left(\pi \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left(\pi \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} < 0$$
$$\sin{\left(\cos{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2} \right)} \right)} < 0$$

sin(sin(1/10)) < 0

pero

sin(sin(1/10)) > 0

Entonces
$$x < \frac{\pi}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{\pi}{2} \wedge x < \frac{3 \pi}{2}$$

         _____  
        /     \  
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       x1      x2