sin(1-2x)<(-sqrt(2))*1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(1 - 2 x \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(1 - 2 x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(1 - 2 x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(2 x - 1 \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x - 1 = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$2 x - 1 = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$2 x - 1 = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$2 x - 1 = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$-1$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$2 x = 2 \pi n + \frac{\pi}{4} + 1$$
$$2 x = 2 \pi n + 1 + \frac{3 \pi}{4}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{1}{2} + \frac{3 \pi}{8}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{1}{2} + \frac{3 \pi}{8}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{1}{2} + \frac{3 \pi}{8}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + \frac{\pi}{8} + \frac{2}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(1 - 2 x \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(1 - 2 \left(\pi n + \frac{\pi}{8} + \frac{2}{5}\right) \right)} < \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$

                             ___ 
    /  1   pi         \   -\/ 2  
-sin|- - + -- + 2*pi*n| < -------
    \  5   4          /      2   
                          

pero

                             ___ 
    /  1   pi         \   -\/ 2  
-sin|- - + -- + 2*pi*n| > -------
    \  5   4          /      2   
                          

Entonces
$$x < \pi n + \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \pi n + \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2} \wedge x < \pi n + \frac{1}{2} + \frac{3 \pi}{8}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2