Sr Examen

Otras calculadoras


sin(2*x)>-1/2

sin(2*x)>-1/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
sin(2*x) > -1/2
$$\sin{\left(2 x \right)} > - \frac{1}{2}$$
sin(2*x) > -1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(2 x \right)} > - \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(2 x \right)} = - \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(2 x \right)} = - \frac{1}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi$$
O
$$2 x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
$$2 x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n - \frac{\pi}{12}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(2 x \right)} > - \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(2 \left(\pi n - \frac{\pi}{12} - \frac{1}{10}\right) \right)} > - \frac{1}{2}$$
    /1   pi         \       
-sin|- + -- - 2*pi*n| > -1/2
    \5   6          /       

Entonces
$$x < \pi n - \frac{\pi}{12}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \pi n - \frac{\pi}{12} \wedge x < \pi n + \frac{7 \pi}{12}$$
         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
             /  ___     ___\              /  ___     ___\     
             |\/ 2  + \/ 6 |              |\/ 2  - \/ 6 |     
[0, pi + atan|-------------|) U (pi + atan|-------------|, pi]
             |  ___     ___|              |  ___     ___|     
             \\/ 2  - \/ 6 /              \\/ 2  + \/ 6 /     
$$x\ in\ \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{- \sqrt{6} + \sqrt{2}} \right)} + \pi\right) \cup \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)} + \pi, \pi\right]$$
x in Union(Interval.Ropen(0, atan((sqrt(2) + sqrt(6))/(-sqrt(6) + sqrt(2))) + pi), Interval.Lopen(atan((-sqrt(6) + sqrt(2))/(sqrt(2) + sqrt(6))) + pi, pi))
Gráfico
sin(2*x)>-1/2 desigualdades