|x-3|+|x+1|>=5 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 3}\right| + \left|{x + 1}\right| \geq 5$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 3}\right| + \left|{x + 1}\right| = 5$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 3 \geq 0$$
$$x + 1 \geq 0$$
o
$$3 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 3\right) + \left(x + 1\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 7 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$

2.
$$x - 3 \geq 0$$
$$x + 1 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x - 3 < 0$$
$$x + 1 \geq 0$$
o
$$-1 \leq x \wedge x < 3$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - x\right) + \left(x + 1\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
incorrecto
la resolución en este intervalo:

4.
$$x - 3 < 0$$
$$x + 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -1$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - x\right) + \left(- x - 1\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 2 x - 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{3}{2}$$


$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = \frac{7}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{8}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 3}\right| + \left|{x + 1}\right| \geq 5$$
$$\left|{- \frac{8}{5} + 1}\right| + \left|{-3 + - \frac{8}{5}}\right| \geq 5$$

26/5 >= 5

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{3}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{3}{2}$$
$$x \geq \frac{7}{2}$$