tg(x/2+π/12)>=-√3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} \right)} \geq - \sqrt{3}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} \right)} = - \sqrt{3}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} \right)} = - \sqrt{3}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} \right)}$$
O
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{12}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$\frac{x}{2} = \pi n - \frac{5 \pi}{12}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \frac{5 \pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12} \right)} \geq - \sqrt{3}$$
$$\tan{\left(\frac{2 \pi n - \frac{5 \pi}{6} - \frac{1}{10}}{2} + \frac{\pi}{12} \right)} \geq - \sqrt{3}$$

    /1    pi       \       ___
-tan|-- + -- - pi*n| >= -\/ 3 
    \20   3        /    

pero

    /1    pi       \      ___
-tan|-- + -- - pi*n| < -\/ 3 
    \20   3        /   

Entonces
$$x \leq 2 \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq 2 \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1