Se da la desigualdad:
$$x + \sqrt{2} x < 2 \sqrt{2} + 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x + \sqrt{2} x = 2 \sqrt{2} + 3$$
Resolvemos:
Tenemos una ecuación lineal:
x*sqrt(2)+x = 3+2*sqrt(2)
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
x*sqrt2+x = 3+2*sqrt(2)
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
x*sqrt2+x = 3+2*sqrt2
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (x + x*sqrt(2))/x
x = 3 + 2*sqrt(2) / ((x + x*sqrt(2))/x)
$$x_{1} = 1 + \sqrt{2}$$
$$x_{1} = 1 + \sqrt{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 1 + \sqrt{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(1 + \sqrt{2}\right)$$
=
$$\frac{9}{10} + \sqrt{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x + \sqrt{2} x < 2 \sqrt{2} + 3$$
$$\left(\frac{9}{10} + \sqrt{2}\right) + \sqrt{2} \left(\frac{9}{10} + \sqrt{2}\right) < 2 \sqrt{2} + 3$$
9 ___ ___ /9 ___\ ___
-- + \/ 2 + \/ 2 *|-- + \/ 2 | < 3 + 2*\/ 2
10 \10 /
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < 1 + \sqrt{2}$$
_____
\
-------ο-------
x1