1/(logx-1(x/6))>=-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{1}{- \frac{x}{6} + \log{\left(x \right)}} \geq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{1}{- \frac{x}{6} + \log{\left(x \right)}} = -1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - 6 W\left(- \frac{1}{6 e}\right)$$
$$x_{2} = - 6 W_{-1}\left(- \frac{1}{6 e}\right)$$
$$x_{1} = - 6 W\left(- \frac{1}{6 e}\right)$$
$$x_{2} = - 6 W_{-1}\left(- \frac{1}{6 e}\right)$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - 6 W\left(- \frac{1}{6 e}\right)$$
$$x_{2} = - 6 W_{-1}\left(- \frac{1}{6 e}\right)$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} - 6 W\left(- \frac{1}{6 e^{1}}\right)$$
=
$$- \frac{1}{10} - 6 W\left(- \frac{1}{6 e}\right)$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{1}{- \frac{x}{6} + \log{\left(x \right)}} \geq -1$$
$$\frac{1}{\log{\left(- \frac{1}{10} - 6 W\left(- \frac{1}{6 e^{1}}\right) \right)} - \frac{- \frac{1}{10} - 6 W\left(- \frac{1}{6 e^{1}}\right)}{6}} \geq -1$$

                  1                         
--------------------------------------      
      /  -1 \      /          /  -1 \\      
1     |-e   |      |  1       |-e   || >= -1
-- + W|-----| + log|- -- - 6*W|-----||      
60    \  6  /      \  10      \  6  //      
      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - 6 W\left(- \frac{1}{6 e}\right)$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - 6 W\left(- \frac{1}{6 e}\right)$$
$$x \geq - 6 W_{-1}\left(- \frac{1}{6 e}\right)$$