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cos(x+pi/6)>=sqrt(3)/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
                 ___
   /    pi\    \/ 3 
cos|x + --| >= -----
   \    6 /      2  
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
cos(x + pi/6) >= sqrt(3)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
O
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x + \frac{\pi}{6} = \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{6}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$x = \pi n$$
$$x = \pi n - \pi$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n - \pi$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n - \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n - \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(\left(\pi n - \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{6} \right)} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
                           ___
   /  1    pi       \    \/ 3 
cos|- -- + -- + pi*n| >= -----
   \  10   6        /      2  
                         

pero
                          ___
   /  1    pi       \   \/ 3 
cos|- -- + -- + pi*n| < -----
   \  10   6        /     2  
                        

Entonces
$$x \leq \pi n$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \pi n \wedge x \leq \pi n - \pi$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico