-2cos(x/3)>1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- 2 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} > 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- 2 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- 2 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = 1$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -2

La ecuación se convierte en
$$\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = - \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} \right)}$$
O
$$\frac{x}{3} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$\frac{x}{3} = \pi n - \frac{\pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 3 \pi n + 2 \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi n - \pi$$
$$x_{1} = 3 \pi n + 2 \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi n - \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3 \pi n + 2 \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi n - \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(3 \pi n + 2 \pi\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$3 \pi n - \frac{1}{10} + 2 \pi$$
lo sustituimos en la expresión
$$- 2 \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} > 1$$
$$- 2 \cos{\left(\frac{3 \pi n - \frac{1}{10} + 2 \pi}{3} \right)} > 1$$

     /  1    pi       \    
2*sin|- -- + -- + pi*n| > 1
     \  30   6        /    

Entonces
$$x < 3 \pi n + 2 \pi$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 3 \pi n + 2 \pi \wedge x < 3 \pi n - \pi$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2