cos((5*x+pi)/2)<=sqrt(3)/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(\frac{5 x + \pi}{2} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(\frac{5 x + \pi}{2} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(\frac{5 x + \pi}{2} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(\frac{5 x}{2} \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{5 x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$\frac{5 x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$\frac{5 x}{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$\frac{5 x}{2} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{5}{2}$$
$$x_{1} = \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi n}{5} + \frac{8 \pi}{15}$$
$$x_{1} = \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi n}{5} + \frac{8 \pi}{15}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi n}{5} + \frac{8 \pi}{15}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(\frac{5 x + \pi}{2} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(\frac{5 \left(\frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15} - \frac{1}{10}\right) + \pi}{2} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

                            ___
   /  1   pi         \    \/ 3 
cos|- - + -- + 2*pi*n| <= -----
   \  4   6          /      2  
                          

pero

                            ___
   /  1   pi         \    \/ 3 
cos|- - + -- + 2*pi*n| >= -----
   \  4   6          /      2  
                          

Entonces
$$x \leq \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15} \wedge x \leq \frac{4 \pi n}{5} + \frac{8 \pi}{15}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2