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Resolver desigualdades/ cos((5*x+pi)/2)<=sqrt(3)/2

cos((5*x+pi)/2)<=sqrt(3)/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
                   ___
   /5*x + pi\    \/ 3 
cos|--------| <= -----
   \   2    /      2
cos⁡(5x+π2)≤32\cos{\left(\frac{5 x + \pi}{2} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2} 
cos((5*x + pi)/2) <= sqrt(3)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
cos⁡(5x+π2)≤32\cos{\left(\frac{5 x + \pi}{2} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
cos⁡(5x+π2)=32\cos{\left(\frac{5 x + \pi}{2} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
cos⁡(5x+π2)=32\cos{\left(\frac{5 x + \pi}{2} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

La ecuación se convierte en
sin⁡(5x2)=−32\sin{\left(\frac{5 x}{2} \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}
Esta ecuación se reorganiza en
5x2=2πn+asin⁡(−32)\frac{5 x}{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}
5x2=2πn−asin⁡(−32)+π\frac{5 x}{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi
O
5x2=2πn−π3\frac{5 x}{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}
5x2=2πn+4π3\frac{5 x}{2} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
52\frac{5}{2}
x1=4πn5−2π15x_{1} = \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}
x2=4πn5+8π15x_{2} = \frac{4 \pi n}{5} + \frac{8 \pi}{15}
x1=4πn5−2π15x_{1} = \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}
x2=4πn5+8π15x_{2} = \frac{4 \pi n}{5} + \frac{8 \pi}{15}
Las raíces dadas
x1=4πn5−2π15x_{1} = \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}
x2=4πn5+8π15x_{2} = \frac{4 \pi n}{5} + \frac{8 \pi}{15}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(4πn5−2π15)+−110\left(\frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}\right) + - \frac{1}{10}
=
4πn5−2π15−110\frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
cos⁡(5x+π2)≤32\cos{\left(\frac{5 x + \pi}{2} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡(5(4πn5−2π15−110)+π2)≤32\cos{\left(\frac{5 \left(\frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15} - \frac{1}{10}\right) + \pi}{2} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}
                            ___
   /  1   pi         \    \/ 3 
cos|- - + -- + 2*pi*n| <= -----
   \  4   6          /      2

pero
                            ___
   /  1   pi         \    \/ 3 
cos|- - + -- + 2*pi*n| >= -----
   \  4   6          /      2

Entonces
x≤4πn5−2π15x \leq \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥4πn5−2π15∧x≤4πn5+8π15x \geq \frac{4 \pi n}{5} - \frac{2 \pi}{15} \wedge x \leq \frac{4 \pi n}{5} + \frac{8 \pi}{15}
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-80-60-40-20204060802-2
Respuesta rápida 2 [src] 
    8*pi     2*pi  4*pi 
[0, ----] U [----, ----]
     15       3     5
x in [0,8π15]∪[2π3,4π5]x\ in\ \left[0, \frac{8 \pi}{15}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{5}\right] 
x in Union(Interval(0, 8*pi/15), Interval(2*pi/3, 4*pi/5))
Respuesta rápida [src] 
  /   /             8*pi\     /2*pi            4*pi\\
Or|And|0 <= x, x <= ----|, And|---- <= x, x <= ----||
  \   \              15 /     \ 3               5  //
(0≤x∧x≤8π15)∨(2π3≤x∧x≤4π5)\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{8 \pi}{15}\right) \vee \left(\frac{2 \pi}{3} \leq x \wedge x \leq \frac{4 \pi}{5}\right) 
((0 <= x)∧(x <= 8*pi/15))∨((2*pi/3 <= x)∧(x <= 4*pi/5))
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