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sin^2x<1/2
Resolver desigualdades/ sin^2x<1/2

sin^2x<1/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   2         
sin (x) < 1/2
sin⁡2(x)<12\sin^{2}{\left(x \right)} < \frac{1}{2} 
sin(x)^2 < 1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡2(x)<12\sin^{2}{\left(x \right)} < \frac{1}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡2(x)=12\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡2(x)=12\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2}
cambiamos
−cos⁡(2x)2=0- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} = 0
sin⁡2(x)−12=0\sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{1}{2} = 0
Sustituimos
w=sin⁡(x)w = \sin{\left(x \right)}
Es la ecuación de la forma
a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
w1=D−b2aw_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
w2=−D−b2aw_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=1a = 1
b=0b = 0
c=−12c = - \frac{1}{2}
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-1/2) = 2

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
w1=22w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}
w2=−22w_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
hacemos cambio inverso
sin⁡(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
Tenemos la ecuación
sin⁡(x)=w\sin{\left(x \right)} = w
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x=2πn+asin⁡(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
x=2πn−asin⁡(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
O
x=2πn+asin⁡(w)x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}
x=2πn−asin⁡(w)+πx = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
x1=2πn+asin⁡(w1)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}
x1=2πn+asin⁡(22)x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x1=2πn+π4x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}
x2=2πn+asin⁡(w2)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}
x2=2πn+asin⁡(−22)x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x2=2πn−π4x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{4}
x3=2πn−asin⁡(w1)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi
x3=2πn−asin⁡(22)+πx_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi
x3=2πn+3π4x_{3} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}
x4=2πn−asin⁡(w2)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi
x4=2πn−asin⁡(−22)+πx_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi
x4=2πn+5π4x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
x3=3π4x_{3} = \frac{3 \pi}{4}
x4=5π4x_{4} = \frac{5 \pi}{4}
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
x3=3π4x_{3} = \frac{3 \pi}{4}
x4=5π4x_{4} = \frac{5 \pi}{4}
Las raíces dadas
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
x3=3π4x_{3} = \frac{3 \pi}{4}
x4=5π4x_{4} = \frac{5 \pi}{4}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−π4−110- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}
=
−π4−110- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡2(x)<12\sin^{2}{\left(x \right)} < \frac{1}{2}
sin⁡2(−π4−110)<12\sin^{2}{\left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10} \right)} < \frac{1}{2}
   2/1    pi\      
sin |-- + --| < 1/2
    \10   4 /

pero
   2/1    pi\      
sin |-- + --| > 1/2
    \10   4 /

Entonces
x<−π4x < - \frac{\pi}{4}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x>−π4∧x<π4x > - \frac{\pi}{4} \wedge x < \frac{\pi}{4}
         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x>−π4∧x<π4x > - \frac{\pi}{4} \wedge x < \frac{\pi}{4}
x>3π4∧x<5π4x > \frac{3 \pi}{4} \wedge x < \frac{5 \pi}{4}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-80-60-40-202040608002
Respuesta rápida 2 [src] 
    pi     3*pi     
[0, --) U (----, pi]
    4       4
x in [0,π4)∪(3π4,π]x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right] 
x in Union(Interval.Ropen(0, pi/4), Interval.Lopen(3*pi/4, pi))
Respuesta rápida [src] 
  /   /            pi\     /         3*pi    \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|x <= pi, ---- < x||
  \   \            4 /     \          4      //
(0≤x∧x<π4)∨(x≤π∧3π4<x)\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(x \leq \pi \wedge \frac{3 \pi}{4} < x\right) 
((0 <= x)∧(x < pi/4))∨((x <= pi)∧(3*pi/4 < x))
Gráfico
sin^2x<1/2 desigualdades
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