(log(x)/log(5))<(log(12)/log(5)) desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(5 \right)}} < \frac{\log{\left(12 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = \frac{\log{\left(12 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = \frac{\log{\left(12 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = \frac{\log{\left(12 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =1/log(5)
$$\log{\left(x \right)} = \log{\left(12 \right)}$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$x = e^{\frac{\frac{1}{\log{\left(5 \right)}} \log{\left(12 \right)}}{\frac{1}{\log{\left(5 \right)}}}}$$
simplificamos
$$x = 12$$
$$x_{1} = 12$$
$$x_{1} = 12$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 12$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 12$$
=
$$\frac{119}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(5 \right)}} < \frac{\log{\left(12 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$\frac{\log{\left(\frac{119}{10} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} < \frac{\log{\left(12 \right)}}{\log{\left(5 \right)}}$$

   /119\          
log|---|   log(12)
   \ 10/ < -------
--------    log(5)
 log(5)           

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < 12$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1