ctgx>-(1/√3) desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cot{\left(x \right)} > - \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cot{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cot{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$$
cambiamos
$$\cot{\left(x \right)} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$$
$$\cot{\left(x \right)} - 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cot{\left(x \right)}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-1 + w + 1/sqrt+1/3) = 0

Transportamos los términos libres (sin w)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$w + \frac{\sqrt{3}}{3} = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (w + sqrt(3)/3)/w

w = 1 / ((w + sqrt(3)/3)/w)

Obtenemos la respuesta: w = 1 - sqrt(3)/3
hacemos cambio inverso
$$\cot{\left(x \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cot{\left(x \right)} > - \frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$\cot{\left(- \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10} \right)} > - \frac{1}{\sqrt{3}}$$

                   ___ 
    /1    pi\   -\/ 3  
-cot|-- + --| > -------
    \10   3 /      3   
                

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < - \frac{\pi}{3}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1