tgx/2≤√3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{2} \leq \sqrt{3}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{2} = \sqrt{3}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{2} = \sqrt{3}$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 1/2

La ecuación se convierte en
$$\tan{\left(x \right)} = 2 \sqrt{3}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{3} \right)}$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{3} \right)}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{3} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{3} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{3} \right)}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{3} \right)}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\tan{\left(x \right)}}{2} \leq \sqrt{3}$$
$$\frac{\tan{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{3} \right)} \right)}}{2} \leq \sqrt{3}$$

   /  1               /    ___\\         
tan|- -- + pi*n + atan\2*\/ 3 /|      ___
   \  10                       / <= \/ 3 
--------------------------------    
               2                         

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq \pi n + \operatorname{atan}{\left(2 \sqrt{3} \right)}$$

 _____          
      \    
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       x1